2021省大庆中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

2020----2021学年度上学期期中考试

高三年级理科数学试题

考试时间：120分钟；试卷总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

已知集合，，则（      ）

设复数，在复平面内对应的点位于（     ）

  第一象限           第二象限            第三象限      第四象限

给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则，均为假命题

②命题“若，则”的否命题为“若，则”

③命题“，”的否定是“，”

④在中，“”是“”的充要条件

其中错误的命题的是（    ）

  ①              ②                   ③            ④

己知, ,且,则（     ）

若，满足 ，则的最大值为（     ）

《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女善织，日增功速，初日织三尺，末日织五尺，今共织四十四尺，问织几日？”其中“日增功速”的具体含义是每天比前一天多织同样多的布.则此问题中，该女每天比前一天多织布的尺数为（     ）

某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，

直角三角形的个数为（    ）

已知则（     ）

若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（     ）

设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则离心率=（     ）

设函数，则f(x)（     ）

是偶函数，且在单调递增         是奇函数，且在单调递减             

是偶函数，且在单调递增        是奇函数，且在单调递增

已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（     ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

当函数取得最大值时，___________.

已知各项均不为0的等差数列，满足，数列为等比数列，且，则___________.

在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为____________.

已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17题10分，18-22每题满分12分）

在中，角、、所对的边长是、、，向量，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的最大值.

已知数列满足，，设.

（1）求证数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求，，求直线CG与面所成角的正弦值.

已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点.与的公共弦的长为.过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向.

（1）求的方程；

（2）若，求直线的斜率.

函数

（1）讨论在其定义域上的单调性；

（2）设，m，n分别为的极大值和极小值，若S=m-n，求S的取值范围.

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线极坐标方程为.

（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2020—2021学年度下学期期末考试

高三年级理科数学答案

一、选择题

二、填空题

13.              14.  4             15.           16.    8

三、解答题

17. （1）且，，……………………………………2分

由余弦定理得，                      ……………………………………4分

，因此，；                              ……………………………………6分

（2）由，及余弦定理得，

即， ………………………10分

，，当且仅当时，等号成立，

因此，的周长的最大值为.                      ……………………………………12分

18. （1）证明：因为，

所以，即，                       ……………………………………2分

所以为等差数列，其首项为，公差．      ……………………………………4分

所以．                                  ……………………………………6分

（2）由（1）得，，                       ……………………………………8分

                                         ……………………………………12分

19. （Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，∴平面，

∵AG平面，∴，

∵菱形中，，为的中点，∴，∴，

∵，∴平面.                           ……………………………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，∵，，则，，

故，，，，

则，，，…………………………………8分

设平面的法向量，则，

得，                                    ……………………………………10分

设直线CG与面所成角为，则 .                 ……………………………………12分

20. （1）由知其焦点的坐标为.

因为也是椭圆的一个焦点，所以.①

又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，

由此易知与的公共点的坐标为，所以.②

联立①，②得，. 故的方程为.      ……………………………………4分

（2）如图，设，，，.

因与同向，且，所以，从而，即，

于是.③

设直线的斜率为，则的方程为.

由，得.                        ……………………………………6分

而，是这个方程的两根，所以，.④

由，得.            ……………………………………8分

而，是这个方程的两根，所以，，⑤

将④，⑤代入③，得，即，

所以，解得，即直线的斜率为.………………………………12分

21. （1）函数定义域为 ， ，

当时，，所以在单调递减；

当时，，所以在单调递增；

当时，在内有相异两根，

设，，

令所以或；令，∴；

∴在上递增，在上递减，在上递增． …………………………………4分

（2）依题意可知，在内有相异两根，

所以，又，可得

此时设的两根为，∴ 

∵，  ∴，

由，且，得．           …………………………………6分

∴

由得 代入上式得

                  ……………………………………8分

令，所以，，则，

∴在上为减函数，                            ……………………………………10分

从而，即

∴．                                   ……………………………………12分

22. （1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，

得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，

直线的直角坐标方程为.               ……………………………………5分

（2）曲线是以为圆心，4为半径的圆，

圆心到直线的距离.

∴由图像可知，存在这样的点

则，且点到直线的距离，

∴，∴.                     ……………………………………10分