2021葫芦岛高三上学期期末考试数学试题PDF版含答案

2021年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试

高三数学

参考答案及评分标准

一．单选题：1.C  2.B  3.C  4.C  5.B  6.D  7.B  8.A

二．多选题：9. CD   10. ABC   11. AB   12. BC

三．填空题：13. 2  14.   15.   16. [,+)

17. （本小题满分10分）

(1) AD2=CD2+AC22CD·ACcosACB  

即4=4+AC22AC   解得AC=2………………………………………………2

SABC=  ACBCsin= ……………………………………………………5

 (2)在△ABD中,c2=BD2+AD22BD·ADcos=54cos

在△ACD中,b2=CD2+AD22CD·ADcos()=8+8cos………………………………7

2c2+b2=182   0<bc  当且仅当b=c时等号成立

故bc的取值范围是(0, ] ……………………………………………………10

18. （本小题满分12分）

(1)证明：分别取AB，A1B中点为M，N连接EM,MN,NC

则MNAA1,∵CEAA1, CEMN

∴四边形NMCE为平行四边形，则EN∥CM

在△ABC是等边三角形中，CMAB……………………2

直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1平面ABC，AA1CM，

∴CM平面ABB1A1，…………………………………………………………4

EN平面ABB1A1

EN平面A1BE,∴平面A1BE平面ABB1A1…………………………………6

(2)因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.

取B1C1中点为F，连接DF，则DF∥CC1，DF平面ABC，

以D为原点，分别以建立如图所示空间坐标系D－xyz.由已知AB＝BB1＝2，

得D(0,0,0)，A(，0,0)，A1(，0,2)，E(0，－1,1),B(0，1,0)

则＝(，1,2)，＝(0，－2,1)，＝(0，－1,1)……………………8

设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

取z＝2，则x＝-，y＝1，∴n＝(-,1,2)．…………………………………………10

∴cos<，n>＝=

设A1D与平面ADC1所成角为θ,

则故A1D与平面ADC1所成角的正弦值sinθ＝|cos<，n>|＝……………………12

19.(本小题满分12分）

     (1)∵a1+2d=3, a1+7d +a1+8d =28,∴a1=1,d=2,an=2n3…………………………4

(2) b1=a2=1

注：如果多次做答，按所做第一个解答计分

选择①③:   b3=9,q2==9, ∵bn+1>bn , q>0∴q=3 ,bn=3n1 ………………8

选择①②:   b3= b1q2=9 且 b1+b1q+b1q2=13，解得q=3，bn=3n1 ………8

选择②③:   b1+b1q+b1q2=13且bn+1>bn，q>0解得q=3，bn=3n1 …………8

    Tn=11+13+332+……+(2n3) 3n1

 3 Tn=3+132+……+(2n5) 3n1+(2n3)3n

2 Tn=1+2[32+33+……+3n1] (2n3)3n…………………………………………10

      =1+2 (2n3)3n

    =8 (2n4)3n

  Tn=4+ (n2)3n……………………………………………………………………12

20. (本小题满分12分）

(1)由表格可以得到如下结论：（任写一个赋2分，任写两个均赋4分.）

①2019年该店营业额的平均数3030元大于今年该店营业额的平均数2890元．

②2020年该店营业额较去年该店营业额更集中.（或去年该店营业额较今年该店营业额更分散）

③2019年该店营业额的中位数3030元，2020年该店营业额的中位数2860元．

④2019年该店营业额的众数3030元，2020年该店营业额的众数2850元

(2)由图表可知，两年营业额超过3000元的共有16天，其中2019年有12天，2020年有4天．由题意得X可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………6

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. …………………………………………8

于是，X的概率分布列如下：

故X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝………………………………12

21. (本小题满分12分）

（1） 根据题意得：解得

所以椭圆Q的方程为+=1………………………………………………………………4

（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+3，代入Q得 (9k2+4)x2+54kx+45=0

当△=(54k)24(9k2+4)45>0，即k2>时，直线l与椭圆Q相交， 

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=，x1x2=，  …………………………………6

所以S=4SAOB=4|OM||x1-x2|=6

=6=………………………………………8

设t=>0, S==12   当且仅当t=，即t=3,时等号成立…………………10

此时k=,四边形ABDC的面积最大，

直线l的方程为：y=x+3 ……………………………………………………………12          

22. (本小题满分12分）

（1）根据题意，函数f '(x)= (x>0)，=1+4m

①若m,则0, f '(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减 ………………………………………2

②若m>,则>0, 令f '(x)=0,设两根为x1=,x2= , 

（i）若<1 即<m<0，则x1>0,x2>0 

    x(0, ), f '(x)<0 ,f(x)单调递减

    x(,), f '(x)>0 ,f(x)单调递增

    x(,+)， f '(x)<0 ,f(x)单调递减 ……………………………………………3

（ii）若1 即m0，则x10,x2>0 

   x(0, ), f '(x)>0 ,f(x)单调递增

   x(,+)， f '(x)<0 ,f(x)单调递减 ………………………………………………4

（2）由（1）知x1，x2，且x1＜x2是﹣x2+x+m＝0的两个不等的正实数根，

所以，x1+x2＝1，x1x2＝﹣m，且<m<0.………………………………………………………6

设t=(m+1) [ f(x2)+f(x1)]= (m+1)[( lnx2x2)+ (lnx1x1)]=(m+1)ln(m)

t'=ln(m)+   t''=<0    t'单调递减，t'|m==ln3<0,  t单调递减，

所以，t的范围是(,ln) ……………………………………………………………………8

（3）解法一：，

………………………………………………………………………10

减

…………………………………………………………………………12

第三问解法二：

（3）由恒成立

即恒成立,令

易知F′(x)为增函数，

,     

两边取对数 ………………………………………………………………10

,即

……………………………………………………12