2023南京六校联合体高三上学期10月联合调研数学试题含答案

2022-2023学年第一学期10月六校联合调研试题

高三数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（   ）

A．  B.     C．   D.

2.若 ，则（   ）

A．          B．          C．             D．

3.设为等差数列的前项和，若,则的值为（   ）

A．              B．             C．              D．

4.从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（   ）

A．              B．              C．              D．

5.已知菱形中，，为中点，

，则（   ）

A．              B．               C．              D．

6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥，现将一个棱长为的正方体铜块，熔化铸造一些高为的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（   ）个该金字塔模型（不计损耗）？

A．              B．              C.                D．

7．若，，则（   ）

A．      B．      C．         D．

8. 已知函数的定义域为，为的导函数，且

，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）

A.      B.       C.     D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

9.将函数图象向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于点中心对称

C．函数在区间上为增函数

D．函数在上的值域为

10．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为,则下列说法正确的是（    ）

A．                      B．双曲线的渐近线方程为:

C． 双曲线的离心率为    D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为

11.已知数列 的前项和为,下列说法正确的是（   ）

A.若 ，则

B.若 ，则的最小值为

C.若 ，则数列的前项和为

D.若数列为等差数列,且，则当时，的

最大值为

12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（    ）

A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为

B．异面直线与所成的角的余弦值为

C．连接,构成一个八面体,则该八面体的体积为

D．点到球面上的点的最小距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知定义在R上的函数为奇函数，且满足，当时，

则________. 

14.数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如

的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设：，为常数，表示数列的前项和，若，则_______.          

15.已知的三个角所对的边为，若，为边上的一点，且，，则值为_________.  

16.当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列的公比，满足：.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

18.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,.

(1)若，求面积的最大值；

(2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，且四边形的面积为.求的大小.

19.如图，三棱锥中,,平面，

.

（1）求证：；

（2）若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20.第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求.某机构统计了共6家公司在5G通信技术上的投入（千万元）与收益（千万元）的数据，如下表：

（1）若与之间线性相关，求关于的线性回归方程.并估计若投入千万元，收益大约为多少千万元？（精确到）

（2）现家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为的去甲城市，掷出正面向上的点数为的去乙城市.求：

①公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；

②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.（用最简分数作答）

参考数据及公式：，

21.已知双曲线：的焦距为且过点

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点,设分别为与的中点,若，试求与的面积之比.

22.已知函数,.

（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；

（2）若 （ ），求证：.

 六校10月联考数学参考答案

一．单选题：1.C 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. C 

二：多选题：9.AB  10.BCD 11. BC 12. ACD

三．填空题：13.      14.     15.    16.

四．17.（1）由题：

         -----  2分

     ---------- ------------- ---------- - 3分

     ------------------- ----------  5分

 法二：

（2）n为奇数时，bn＝＝3n－1 -------- --------- 6分

     n为偶数时，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n-------- ----- 7分

   所以＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

---------------- 9分

----------------- ----------  10分

18.解析：（1）由，   得  ，

由   得，                          

即故，所以  即          ---------------------  3分

中， 

                                            -------------------   6分

（2）设，则，  

在中，，    

由（1）知为正三角形，故，-----------------    8分

故 ------------------   10分

因为，故，    即.       ------------------   12分

19.解析：

(1)在中，，

,是直角三角形，，------ 1分

 ,

, ,

, ------------------   3分

, ,又,

 平面.  ----------------   4分

 (2) 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

由题意得：，，，， ---------------- 5分

 ∴，,

设点坐标为,，

则

, 点坐标为,

又直线DE与直线BC所成的角为，

解得：. ----------------   7分

点坐标为.则.

设平面的法向量为

则，取，可得.----------- 9分

再设平面的法向量为，

则，取，可得.----------- 11分

于是

平面CDE与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为.  -------------   12分

(其它方法参照给分）

20.解析：（1）-------------  1分

      ---------    2分

     --------------5分

          则    -------------    6分

当，则

  当投入15千万元，收益大约为35.12亿元.   --------------  7分

 （2） ① 设“某位代表去城市参加活动”为事件

                                  -----------  9分

② 设“6位代表中去城市参加活动的人数少于去城市参加活动的人数”为事件

    ---------  12分

21.解答：由题两焦点分别为，又过点，

，  解得：   ……………2分 

双曲线方程为：  ………………………………………3分 

（2）,设直线方程为：  点，

联立方程：  整理得：

   且  中点…5分 

用代换得：………………………6分 

当，即时  直线方程为：  过点;……7分 

当时

直线的方程为：

令得   直线也过定点……………10分 

   ……………………………12分 

（不讨论扣1分）(其它方法参照给分）

22.解：（1）定义域均为, 

当时：，在单调递增，无极值，与题不符；

当时：令，在单调递减，在单调递增，

在取极小值，且；…………………2分 

又

当时：，在单调递减，无极值，与题不符；

当时：令，在单调递减，在单调递增，

在取极小值，且；…………………4分 

由题： …………………5分 

（2）法1： 

令  则为方程：两根，即为两根，

由（1）知：不妨设

构造函数

在递减，……7分

即…………………9分

而在单调递增

即  …………………12分 

法2：令

由  

（1）-（2）得：  …………………7分 

要证：     只要证：    只要证：  

不妨设     所以只要证：   即证：

令   只要证： …………………10分 

令   

即有：成立  成立…………………12分