湖南省邵东市第一中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案）

2022年上学期高二第三次月考数学试卷

考试时间：120分钟   总分：150分    命题人：    审题人：

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．“”的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

3．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（       ）

A．x>0，使得x2－x+1≤0 B．x>0，使得x2－x+1>0

C．x>0，都有x2－x+1>0 D．x≤0，都有x2－x+1>0

4．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）

A． B．4 C． D．

5．设函数满足条件；①对于任意的，都有；②对于定义域内任意的x，都有．则可能为（       ）

A．        B．    C．  D．

6．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则下列说法正确的个数有（       ）

①某学生从中选3门，共有30种选法

②课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法

③课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

④课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有408种排法

A．1 B．2 C．3 D．4

7．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（       ）

A．478 B．479 C．480 D．481

8．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．已知，则下列关系式不一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

10．已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（       ）

A．       B．     C．  D．

11．已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．当时，为偶函数；          B．存在实数a，使得为奇函数；

C．当时，取得最小值；  D．方程可能有三个实数根．

12．若正整数，只有1为公约数，则称，互质，对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（       ）

A．数列为等比数列  B．数列单调递增

C．     D．数列的前项和为，则的最大值为4

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在的展开式中，的系数为-10，则实数___________.

14．设随机变量Y满足，方程有实数根的概率是，则______.

15．甲、乙两人进行跳棋比赛，约定7局4胜制，即谁先赢得4局比赛谁获胜，后面的比赛不需进行．已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若比赛已经进行了3局，甲以领先，则最终甲以赢得比赛的概率是______．

16．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．

三、解答题(本题共6题，共10+12+12+12+12+12=70分）

17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占．

(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；

(2)请将下面的列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．

附表及公式：

，其中．

18．如图，在五面体中，平面，，，，的中点为.

(1)  求证：平面；

(2)  若，，，求平面与平面的夹角的余弦值.

19．已知等差数列中，．

(1)求；    (2)设，求的前项和．

20．葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立．

(1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点；

(2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标．

①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求；

②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？

21．已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．

22．设函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有两个不等的实根，求实数的取值范围．

参考答案：

1．P3例3  C

因为，又，所以.故选：C.

2．P5对点演练3 A

因为，所以，由于，而，故A选项满足题意；令，则满足，但不满足，故B错误；

由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；

令，则满足，但不满足，D错误.故选：A

3．P6例4  B

“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B

4．P8例2（2） D

设，则，故，其中，

，由，

当且仅当，时等号成立，

此时，满足，故的最小值为，故选：D.

5．P274 5 D

由题意知，在上是非增函数，且为偶函数，

当时，，所以在上单调递增，故排除A；

当时，，所以在上单调递增，故排除B；

的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故排除C；

为偶函数且在上单调递减，故选：D．

6．B

6门中选3门共有种，故①错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故②正确；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故③正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故④错误.

7．B

用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为．

以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，

由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，

所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为．故选：B

8．A  解：因为函数定义域为，，故函数为偶函数，所以，，又因为，

当，，单调递增，当，，单调递减，

所以，时，比较之间的大小，得到，且，所以，再比较和的大小，因为，

，明显可见，

，得到，根据的单调性，可得

9．P224  ABC

10．AD由题意可知，（当且仅当时取等号），故A正确；取，则，故BC错误；

因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故D正确；故选：AD

11．AC  函数，定义域为，

当时，，为偶函数，故A正确；

当时，由，则，函数不可能为奇函数，故B错误；

当时，时，函数单调递增，所以最小值为，时，函数单调递减，所以，所以函数的最小值为，故C正确；

若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，

若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，

若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，

所以方程不可能有三个实数根，D错误．

12．AC

因为与互质的数为，共有个，

所以，因为，所以数列为等比数列，因此选项A正确；因为，所以数列不是单调递增的，因此选项B不正确；因为是质数，所以与不互质的数为，共有个，

所以，因此选项C正确；

同理，，

，，

两式相减，得，

，因此选项D不正确

13．  因为展开式的通项为：，

令，∴的系数为：.

14．1   由方程有实数根，得，解得

即，因为，所以

15．（或者写0.1728也给分）依题意，最后4局比赛的前3局，甲胜1局，最后一局甲胜，其概率为，所以最终甲以赢得比赛的概率是.

16． 当时，，显然成立，符合题意；

当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，

当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.

17．(1)解：因为100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占，

所以50岁以下的确诊人数为3，所以50岁及以上的确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为．

(2)解：补充列联表如下：

零假设为：确诊为新冠肺炎与年龄无关．

计算可得．

依据的独立性检验，推断不成立，即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关．

18．(1)取CD的中点F，连接OF､EF，∵O､F为AC､CD的中点

∴，，∴，∴四边形为平行四边形

∴，又∵平面，平面∴平面.

(2)由平面，平面，则平面平面，

又平面，则，而，有，，

所以为直角梯形，由知，因为平面，，则平面，又平面，所以，，综上，，，两两垂直，故可构建如图示的空间直角坐标系，则，，，所以，，易知平面的法向量为

设平面的法向量，则，令，则，

则,由几何体的特征可知平面与平面的夹角是锐角,故平面与平面的夹角的余弦值为.

方法二，在梯形中，延长相交于,连接.是平面与平面的交线由，，可知是中点，故，又,从而可得,故是直角三角形且

平面且，故为平面与平面的二面角的平面角

在中，，故，所以余弦值为.

19．(1)设等差数列的公差为，∵，

所以，可得，

两式相减可得：，所以所以可得：；

(2)由（1）知：，所以，

20．(1)20袋钼矿中恰有2件不达标的概率为．

因此

令；得，当时，，单调递增，时，，单调递减，所以的最大值点．

(2)由（1）知，．

①令表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知，故，

又，即，所以．

②若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2000元．由于．应该对余下的钼矿都进行检验．

21(1)因为，所以，又，所以，

故椭圆方程为：．

(2)设存在定点，满足条件．由已知，

设直线AP的方程为，由消去y整理得，

，所以，，

时，，所以直线OE的方程为，①

由中，令，得，从而，又，所以，

所以直线DM方程为，②由①②消去参数k，得，即，③方程③要表示圆，当且仅当，此时圆的方程为，时，在上述圆上，所以存在定点使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，且定圆方程为：.

22．(1)

当时，，，在上为单调减函数

当时，，，在上为单调减函数，

在上为单调增函数。综上：当时，在上为单调减函数；

当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数

(2)

即，设，则在上是单调增函数，

故有两个不等的实根，设

由（1）知，，在上为单调减函数，在上为单调增函数

，得，   ，所以在上恰有一个零点又，，

所以在上恰有一个零点综上：，有两个不等的实根．