2022-2023学年福建省福安市第一中学高二上学期第一次月考数学试题解析版

福安一中2022–2023学年高二上学期第一次月考

数学试卷

考试时长:120分钟满分:150分

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.数列的一个通项公式为（）

A.B.C.D.

2.已知等差数列的前项和为,若,则（）

A.36B.72C.91D.182

3.数列满足,则等于（）

A.B.C.2D.

4.已知等差数列,则数列的前100项和（）

A.B.C.D.

5.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作,现传本有92问,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题:“今有女子善织,日增等尺,初日织五尺,三十日共织390尺,问日增几何?”那么此女子每日织布增长（）

A.尺B.尺C.尺D.尺

6.等比数列的各项均为实数,其前项为,已知,则

A.B.32C.64D.

7.设数列满足,数列的前项和为,则

A.B.C.D.

8.已知数列满足,则数列的最大项为（）.

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

二、多项选择题(共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.已知数列,则下列说法正确的是（）

A.此数列的通项公式是

B.是它的第23项

C.此数列的通项公式是

D.是它的第25项

10.已知等差数列中,,公差,则使其前项和取得最大值的自然数是（）

A.4B.5C.6D.7

11.在等比数列中,,若对正整数都有,那么公比的取值可以是（）

A.B.C.D.

12.已知数列的前项和为,下列说法正确的是（）

A.若点在函数为常数)的图象上,则为等差数列

B.若为等差数列,则为等比数列

C.若为等差数列,,则当时,最大

D.若,则为等比数列

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.1和3的等比中项为.

14.数列中的前项和为,则该数列的通项公式.

15.在数列中,若,则该数列的一个通项公式为.

16.已知数列满足,在任意相邻两项与之间插入个2,使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和,则的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)

已知:等差数列中,,公差.

(1)求数列的通项公式;

(2)求数列的前项和的最大值及相应的的值.

18.(本小题满分12分)

设等比数列的前项和为,且满足

(1)求数列的通项公式:

(2)设,求数列的前项和

19.(本小题满分12分)

已知是首项为19,公差为的等差数列,为的前项和.

(1)求通项及;

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.

20.(本小题满分12分)

已知数列满足,且.

(1)设,求证:数列是等比数列;

(2)若数列满足,求实数的取值范围.

21.(本小题满分12分)

甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查,提供了两条不同信息,如图所示.

甲调查表明:由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.

乙调查表明:由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答:

(1)第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数;

(2)到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了?请说明理由.

(3)哪一年的规模最大?请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知数列中,.

(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;

(2)若不等式对于恒成立,求实数的最小值.
 

福安一中2022-2023学年高二上第一次月考

参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1【解析】根据规律可知数列的前三项为，

所以该数列的一个通项公式为．故选：A

2【解析】由得，，即，所以

，故选C.

3【解析】因为，，

所以，，，，，…，

所以数列是周期数列，周期为3，所以，

所以．故选：A．

4【解析】因为为等差数列且，，故，故，

故数列的前100项和为故选：A.

5【解析】设每日织布增长x尺，则，

即，解得.

6【答案】B

7【解析】由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，

所以|an|＝|(－2)n－1|＝2n－1，所以S2 022＝22 022－1.故选A

8【解析】假设第n项最大（），

有，

又，所以，即数列的最大项为第7项.故选：D.

二、多项选择题(共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9【答案】AB

10【解析】∵在等差数列{an}中，a3＋a9＝0，∴a6＝0.

11【答案】BD

12【解析】对于A：点（n，an）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，故an＝kn+b，满足一次函数的关系式，故an﹣an﹣1＝k（常数），则{an}为等差数列，故A正确；

对于B：由于数列{an}为等差数列，所以an﹣an﹣1＝d（常数），故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；对于C：若{an}为等差数列，a1＞0，S11＝0，

所以，整理得a1＝﹣5d，故d＜0，

则，当n＝5或6时，Sn最大，故C错误；对于D：由于，当n＝1时，整理得a1＝5，当n≥2时，，故，（首项不符合通项），故，故选项D错误．故选：AB．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13【答案】

14【答案】

15【答案】

16【解析】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17【解析】∵{an}为等差数列，∴a2+a5＝a3+a4∴

解得4分5分   ∴an＝11﹣n．

（2）∵

又，对称轴为，故当n＝10或11时，Sn取得最大值，其最大值为55

18【解析】(1)设等比数列的公比为q，若，即，解可得，

又由，即，解得，则；

(2)，则数列是首项为1公差为2的等差数列，所以

19【解析】(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，

所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，Sn＝19n＋·(－2)＝－n2＋20n.

(2)由题意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，

则Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋.

20【解析】（1）证明：由题知，2an+2﹣2an+1＝an+1﹣an，

即bn+1bn，且b1＝a2﹣a1＝5﹣3＝2，则数列{bn}是以2为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知bn＝an+1﹣an，

则当n≥2时，其前n﹣1项和Sn﹣1＝a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1

＝an﹣a14，则an＝7，n≥2，且a1＝3也满足通项，

则由指数函数单调性知，an＝77，若满足，则m≥7，

即实数m的取值范围是[7，+∞）．

21［解析］（1）由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是S2=26×1.2=31.2(万只).

(2)第1年总共出产鸡的只数是S1=30×1=30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是

S6=2×10=20(万只)，由此得出S6<S1,这说明规模缩小了.

(3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为

an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为bn=30-4(n-1)=-4n+34(1≤n≤6).

第n年出产的鸡的只数满足的数列为

Sn=anbn= (-2n2+9n+68)=-（n-）+ (1≤n≤6).

因为n∈N+,故当n=2时，Sn最大，即第2年规模最大.

22【解析】(1)由，可得，即

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以

(2)不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设，

由当时，，即

即当时，，即

即所以最大，所以，故最小值为