(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点01《集合》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点01《集合》（解析版），共20页。试卷主要包含了下列四个说法中正确的个数是，对于任意集合A，设fA等内容，欢迎下载使用。
考点01 集合

考点01 集合的含义
例1.下列四个说法中正确的个数是（　　）
①集合N中最小数为1；
②若a∈N，则﹣a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】直接由元素与集合的关系逐一核对4命题得答案．
【解答】解：①集合N中的最小数为0，∴①错误；
②0∈N，则﹣0∈N，∴②错误；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2，错误，当a＝b＝0时，a+b＝0；
④所有小的正数组成一个集合错误，违背集合中元素的确定性；
故选：A．
【知识点】集合的含义

练习：
1.集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，写出集合M的元素，分析即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），
共2个元素，
故选：B．
【知识点】集合的含义
2.已知R是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（　　）

A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（0，1）
【答案】B
【分析】由图观察利用集合的表示法中的描述法表达阴影部分即可；
【解答】解：已知R是实数集，集合，
阴影部分表示的集合是：（∁RA）∩B＝{x|0＜x≤1}；即：（0，1]
故选：B．
【知识点】集合的含义

3.（多选题）下列每组对象，能构成集合的是（　　）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，
C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，
∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，
故选：BD．
【知识点】集合的含义

4.对于函数y＝f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以为其在（0，+∞）上的唯一均值的是　　　　　．
①； ②； ③y＝﹣x2+1； ④y＝x﹣1．
【答案】①②④
【分析】根据新定义直接判断即可．
【解答】解：对于函数①y＝（）x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于∀x1∈（0，+∞），∃x2∈（0，+∞）．使 成立，故①对．
对于函数②y＝，可直接取任意的x1∈（0，+∞），验证求出唯一的x2＝，即可得到成立．故②对．
对于函数③y＝﹣x2+1，取任意的x1∈（0，+∞），＝＝，x2＝±，可以两个的x2∈D．故不满足条件．
对于函数④y＝x﹣1，定义域为R，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使 ＝成立．故④对．
故答案为：①②④
【知识点】集合的含义

考点02 集合的关系
例2.设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，m}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）∪（1，3）
C．（﹣2，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
【答案】B
【分析】可求出A＝{x|﹣2＜x＜3}，根据题意可得出A∩B＝{1，m}，然后即可得出m∈A且m≠1，从而可得出m的取值范围．
【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{1，m}，A∩B有4个子集，
∴A∩B＝{1，m}，
∴m∈A且m≠1，
∴m的取值范围是（﹣2，1）∪（1，3）．
故选：B．
【知识点】子集与真子集、交集及其运算

练习：
1.已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{x|x2+4x+3＝0}，若A∪B所有子集的个数为8，则a可能的取值组成的集合为（　　）
A．{﹣1，﹣3} B．{0，﹣1，﹣3} C．{0，﹣3} D．{0，﹣1}
【答案】B
【分析】根据题意可知，A∪B有3个元素，并且A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，从而可得出a的所有可能取值，即得出a可能的取值组成的集合．
【解答】解：∵A∪B的所有子集个数为8，
∴A∪B有3个元素，
又A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，
∴a＝0或﹣1或﹣3，
∴a可能的取值组成的集合为{0，﹣1，﹣3}．
故选：B．
【知识点】并集及其运算、子集与真子集

2（多选题）.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】ABC
【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，
若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；
若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；
若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；
若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；
故选：ABC．
【知识点】集合的包含关系判断及应用

3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　　．

【分析】讨论a＝0和a＞0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值．
【解答】解：集合A＝{﹣1，2}，
B＝{x|ax2＝2，a≥0}，
若a＝0，则B＝∅，
即有B⊆A；
若a＞0，可得B＝{﹣，}，
不满足B⊆A；
若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得＝2或﹣＝﹣1，解得a＝或a＝2．
综上可得，a＝0或或2；
故答案为：{0，，2}．
【知识点】子集与真子集

4.在平面直角坐标系xOy中，设点的集合A＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2}，，且A⊆B，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　．

【分析】①当a＝0时显然满足题意，
②当a≠0时，因为A⊆B，由圆与直线的位置关系可知：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2与直线x＝3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图所示，又圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为：＝，圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为：＝|a|，由图得：，即0，综合①②可得解．
【解答】解：①当a＝0时显然满足题意，
②当a≠0时由图可知：
圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2
与直线x＝3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图，
圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为：＝，
圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为：＝|a|，
由图得：，
即0，
综合①②得：
实数a的取值范围是：0，
故答案为：[0，]

【知识点】集合的包含关系判断及应用


考点03 集合的运算
例1.已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁UA）⋃（∁UB）＝（　　）
A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]
【答案】B
【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．
【解答】解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}
∴（∁UA）⋃（∁UB）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．
故选：B．
【知识点】交、并、补集的混合运算

练习：
1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩（∁UB）＝（　　）
A．（2，3] B．∅ C．[﹣1，0）∪（2，3] D．[﹣1，0]∪（2，3]
【答案】D
【分析】求出集合A，集合B，从而得到 ∁UB，由此能求出A∩（∁UB）．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
∴∁UB＝{x|x≤0或x＞2}，
∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}＝[﹣1，0]∪（2，3]．
故选：D．
【知识点】交、并、补集的混合运算
2.已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（　　）
A．M﹣（M﹣N）＝N B．（M﹣N）+（N﹣M）＝∅
C．（M+N）﹣M＝N D．（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅
【答案】D
【分析】根据题中的新定义表示出M﹣N，N﹣M，即可做出判断．
【解答】解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，N﹣M＝{x|x∈N且x∉M}，
则（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅．
故选：D．
【知识点】交、并、补集的混合运算

3.（多选题）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　）
A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
∁UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
【知识点】交、并、补集的混合运算

4.设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，则集合B＝　　　　　　
【答案】{3，4}
【分析】全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，根据（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，可得2∈A，进而解得q．可得A，∁uA，可得3∈B．解得p，即可得出B．
【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∵（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，
∴2∈A，
∴22﹣5×2+q＝0，解得q＝6．
∴x2﹣5x+6＝0，解得x＝2，3．
∴A＝{2，3}，
∴∁uA＝{1，4，5}，
∴3∈B．
∴32+3p+12＝0，解得p＝﹣7．
由x2﹣7x+12＝0，解得x＝3，4．
∴B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【知识点】交、并、补集的混合运算


1.设集合A＝〈x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（　　）
A．（0，1] B．[0，1]
C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]
【答案】A
【分析】本题先计算集合A和集合B中的不等式，分别得到解集，再进行集合运算即可得到正确选项．
【解答】解：∵A＝〈x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|≥1}＝{x|0＜x≤1}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}，即A∩B＝（0，1]．
故选：A．
【知识点】交集及其运算
2.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝3x﹣2x+1，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{0，1}
【答案】B
【分析】依据交集的性质可知，所得交集是A的子集，分别讨论y＝﹣1，0，1是2是否有满足条件的整数解即可．
【解答】解：当﹣1∈B即3x﹣2x+1＝﹣1时，解得：x＝0，满足题意；
当0∈B即3x﹣2x+1＝0时，3x＝2x+1，
即，
显然没有整数解，
故0∉B；
当1∈B即3x﹣2x+1＝1时，解得x＝2，符合题意．
故A∩B＝{﹣1，1}．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
3.某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．
【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），
则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），
所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．
故选：C．

【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
4.已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（　　）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【答案】B
【分析】根据集合S，求出它的非空子集A的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．
【解答】解：S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对它的非空子集A共有255个，
其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次
依题意得：27[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5+（﹣1）6•6+（﹣1）7•7+（﹣1）8•8]＝512．
故选：B．
【知识点】子集与真子集
5.对于任意集合A，设fA（x）＝，已知集合S，T⊆X，则对任意的x∈X，下列说法错误的是（　　）
A．S⊆T⇔fS（x）≤fT（x） B．f（x）＝1﹣fS（x）
C．fS∩T（x）＝fS（x）•fT（x） D．fS∪T（x）＝fS（x）+fT（x）
【答案】D
【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，可得A、B、C都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．
【解答】解：对于A，因为S⊆T，可得x∈S则x∈T，
∵fA（x）＝，
所以fS（x）＝＝，fT（x）＝，
而∁XS中可能有T的元素，但∁XT中不可能有S的元素
∴fS（x）≤fT（x），
即对于任意x∈X，都有fS（x）≤fT（x）故A正确；
∵f（x）＝，
结合fS（x）的表达式，可得fT（x）＝1﹣fS（x），即fS（x）+fT（x）＝1，故B正确；
对于C，fS∩T（x）＝＝═•＝fS（x）•fT（x），
故C正确；
∵fS∪T（x）＝，
当某个元素x在S中但不在T中，由于它在S∪T中，故fS∪T（x）＝1，
而fS（x）＝1且fT（x）＝0，可得fS∪T（x）≠fS（x）•fT（x），
由此可得D不正确．
故错误的是D．
故选：D．
【知识点】集合的包含关系判断及应用

6.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝　　．

【分析】利用集合交并运算的定义寻求A，B的关系是解决本题的关键．再根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数a值．注意元素互异性的应用．
【解答】解：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，
所以有或，解得或，
故a＝0或．
答案：0或
【知识点】交、并、补集的混合运算
7.已知函数f（x）＝x2+ax+a，A＝{x∈R|f（x）≤x}，B＝{x∈R|f[f（x）]≤f（x）}，A≠∅，A⊆B，则实数a的取值范围是　　．

【分析】方法一：设fn（x）＝f[fn﹣1（x）]，f0（x）＝x，由题意方程f（x）＝x的存在实根，且都在函数y＝f（x）的对称轴右侧（含对称轴）．因此有；解出即可得出．
解法二：设x1，x2（x1≤x2）是方程f（x）＝x的两个实根，则f（x）﹣x＝（x﹣x1）（x﹣x2）f（f（x））﹣f（x）＝（f（x）﹣x1）（f（x）﹣x2）＝[f（x）﹣x+x﹣x1][f（x）﹣x+x﹣x2]，由题意，对任意x1≤x≤x2时，f（f（x））﹣f（x）≤0即x1﹣x2+1≥0，利用根与系数的关系、不等式的解法即可得出．
【解答】解：方法一：设fn（x）＝f[fn﹣1（x）]，f0（x）＝x，由题意方程f（x）＝x的存在实根，
且都在函数y＝f（x）的对称轴右侧（含对称轴）．因此有；
解得或．
方法二：设x1，x2（x1≤x2）是方程f（x）＝x的两个实根，
则f（x）﹣x＝（x﹣x1）（x﹣x2）f（f（x））﹣f（x）＝（f（x）﹣x1）（f（x）﹣x2）＝[f（x）﹣x+x﹣x1][f（x）﹣x+x﹣x2]
＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x1+1）（x﹣x2+1）．
由题意，对任意x1≤x≤x2时，f（f（x））﹣f（x）≤0即x1﹣x2+1≥0，
x2+ax+a＝x，即x2+（a﹣1）x+a＝0，
∴x1+x2＝1﹣a，x1x2＝a，
∴﹣+1≥0，△＝（a﹣1）2﹣4a≥0．
解得：或．．
故答案为：或..
【知识点】集合的包含关系判断及应用
8.已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是　　　．
【答案】（2，+∞）
【分析】化简集合A，利用x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，即可得出．
【解答】解：∵＜2x＜8，∴﹣1＜x＜3．∴A＝（﹣1，3）．
∵x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，
∴3＜m+1，解得m＞2．
∴实数m的取值范围是（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件、集合关系中的参数取值问题
9.设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等．记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，．设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝　　　　　．（结果用数字作答）
【答案】1835028
【分析】由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）
＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215）
＝﹣16×20+﹣15×21+……+﹣2×214+216﹣215
＝217×15+216﹣（2+22+……+215）﹣（16+15×21+……+2×214+215）
＝217×15+216﹣﹣（217﹣18）
＝217×14+20
＝1835028．
故答案为：1835028．
【知识点】子集与真子集

10.已知集合A，B都含有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C含有3个元素，且满足C⊂A∪B，C∩A≠∅，C∩B≠∅，则满足条件的集合C共有　　　　个．
【答案】1028
【分析】按照C中含有A∩B中元素个数分4类计算可得．
【解答】解：依题意设A＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，x1，x2，x3，x4}，B＝{b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，x1，x2，x3，x4}，
当C⊆（A∩B）时，集合C共有＝4个；
当C中含有A∩B中2个元素时，集合C共有•＝96个；
当C中含有A∩B中1个元素时，集合C共有•＝480个；
当C中不含A∩B中元素时，集合C共有•+•＝448个
故满足题意得C共有1028个．
故答案为：1028个．
【知识点】交、并、补集的混合运算
11.定义集合M与N的新运算如下：M*N={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．若M={0，2，4，6，8，10，12}，N={0，3，6，9，12，15}，则（M*N）*M=　　．
【答案】N
【分析】方法一：M∩N={0，6，12}，M*N={2，3，4，8，9，10，15}．（M*N）*M={0，3，6，9，12，15}=N．

方法二：如图所示，由定义可知M*N为图中的阴影区域，（M*N）*M为图中阴影Ⅱ和空白的区域，（M*N）*M=N．
【解答】解：方法一：∵M∩N={0，6，12}，
∴M*N={2，3，4，8，9，10，15}．
∴（M*N）*M={0，3，6，9，12，15}=N．

方法二：如图所示，由定义可知M*N为图中的阴影区域，
∴（M*N）*M为图中阴影Ⅱ和空白的区域，
∴（M*N）*M=N．
【知识点】交、并、补集的混合运算
12.已知数集A＝{a1，a2，…an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i、j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，当n＝5时，若a2＝2，则集合A＝　　　　　　　　　　　
【答案】{1，2，4，8，16}
【分析】推导出1＝∈A，a1＝1.＝an．当n＝5时，有＝a2，＝a3，推导出a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．由此能求出集合A．
【解答】解：A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，
∴anan与中至少有一个属于A，
由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an
故anan∉A．
从而1＝∈A，a1＝1．
∵1＝a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k＝2，3，4，…，n），
故akan∉A（k＝2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知∈A（k＝2，3，4，…，n）．
又∵＜＜…＜＜，
∴＝1，＝a2，…，＝an﹣1，
从而++…++＝a1+a2+…+an，
∴＝an．
当n＝5时，
有＝a2，＝a3，即a5＝a2•a4＝a32，
∵1＝a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4＝a5，∴a3a4∉A，
由A具有性质P可知∈A．
由a2•a4＝a32，得＝∈A，
且1＜＝a2，∴＝＝a2，
∴＝a2，
即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．
∴集合A＝{1，2，4，8，16}．
故答案为：{1，2，4，8，16}．
【知识点】元素与集合关系的判断


1.（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　）
A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
【答案】D
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，
∁RA＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁RB＝{x|﹣1≤x≤2}；
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
故选：D．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
2.（2020•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
【答案】A
【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．
【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，
故选：A．
【知识点】交、并、补集的混合运算
3.（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
4.（2020•山东）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】C
【分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：C．
【知识点】并集及其运算
5.（2020•浙江）已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】B
【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，
则P∩Q＝{x|2＜x＜3}．
故选：B．
【知识点】交集及其运算

6.（2020•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B＝　　．
【答案】{0，2}
【分析】运用集合的交集运算，可得所求集合．
【解答】解：集合B＝{0，2，3}，A＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，2}，
故答案为：{0，2}．
【知识点】交集及其运算
7.（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝　　．
【答案】{2，4}
【分析】由交集的定义可得出结论．
【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，
则A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
【知识点】交集及其运算
8.（2019•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝　　　　　　．
【答案】{1，6}
【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．
故答案为：{1，6}．
【知识点】交集及其运算
9.（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　　．
【答案】3
【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值．
【解答】解：∵3∈A，且A⊆B，∴3∈B，∴a＝3，
故答案为：3．
【知识点】集合的包含关系判断及应用

10.（2019•嘉定区一模）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有　　个元素．
【答案】1
【分析】由题意，可将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数问题转化为f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g（x）＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数
【解答】解：令f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g（x）＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，
将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题
不妨令a1＜a2＜a3＜，b1＜b2＜b3，
由于f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，
g（x）＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．
当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾
不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．

【知识点】集合中元素个数的最值
11.（2018秋•杨浦区模拟）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为　　　　
【答案】2401
【分析】先由B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为
然后在这种情况下分别讨论集合A的个数与集合A的子集个数，推导出通项公式，再将n＝0，1，2，3，4代入计算即可．
【解答】解：当B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为
又A⊆B
则①A为n元集时，则p（A）＝2n且A的个数为
②A为n﹣1元集时，则p（A）＝2n﹣1且A的个数为
以此类推
③A为Φ元集时，p（A）＝20且A的个数为
则p（A）P（B）＝2n（++…+）
＝
＝
当n依次取0，1，2，3，4时
p（A）p（B）的和为++…+＝2041
故答案为：2401．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
12.（2019秋•浦东新区模拟）设集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有　　个．
【答案】6
【分析】由S＝{0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
【解答】解：∵S＝{0，1，2，3，4，5}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个
那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．
故答案为：6．
【知识点】子集与真子集
13.（2019•兰州模拟）设x，y∈R，集合A＝{（x，y）|ax+by+1＝0}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，若对所有的（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，则集合C＝{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}所表示的图形的面积等于　　　．
【答案】2π
【分析】先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和圆相切，即a2+b2＝1，结合图象得到集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，问题得以解决．
【解答】解：集合A＝{（x，y）|ax+by+1＝0}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴＝1，即a2+b2＝1，
∵（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，C＝{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合C中圆的边界的移动是半径的为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个圆弧上，
∴集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，
∴集合C的面积＝π+π＝2π，
故答案为：2π．

【知识点】集合的表示法
14.（2019秋•安庆模拟）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f（x）|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是　　　　．
【答案】0＜t＜1
【分析】首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值．
【解答】解：∵
要解|f（x）|≥1，需要分类来看，
当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1
∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤﹣1
∴x≥2或x≤0或x＝1
∵x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1
∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或x或x
∵x＜0
∴﹣2≤x＜0或x
综上可知B＝{x|﹣2≤x≤0或x或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，
∴t＞0且t+1＜2
∴0＜t＜1
故答案为：0＜t＜1
【知识点】一元二次不等式及其应用、交集及其运算、集合关系中的参数取值问题