(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题05函数5.2《二次函数与幂函数》（解析版）

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专题四  《函数》学案5.2 二次函数与幂函数知识梳理.二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 题型一. 二次函数考点1.二次函数根的分布、恒成立问题1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）A．[﹣3，0） B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，∵﹣3＜0，∴f（x）在R上单调递减，符合题意；②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，∵二次函数在对称轴右侧单调递增，∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，故不符合题意；③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x，∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，∴1，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．故选：D．2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（﹣3，1]　．【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，∴，即，解得﹣3＜a≤1．故答案为（﹣3，1]．3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（　　）A．m＞1 B．m＞3+2 C．m＞3+2或0＜m＜3 D．3﹣2m＜1【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，∴∴∴故选：B．4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（　　）A．[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣1，3） D．[0，2]【解答】解：依题意x2+（a﹣1）x+1≥0对任意实数x都成立，所以△＝（a﹣1）2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤3．故选：B．5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（　　）A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．[，+∞） D．（，+∞）【解答】解：由题意得，对一切x∈[，2]，f（x）＞0都成立，即a2（）2，而﹣2（）2，则实数a的取值范围为：（，+∞）．故选：D．6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为　　．【解答】解：令f（k）＝kx2﹣4kx﹣3＝（x2﹣4x）k﹣3，看作关于k的一次函数，∵不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，∴，即，解得或．∴x的取值范围为．故答案为：． 考点2.二次函数的值域与最值1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：函数y＝﹣（x）2图象开口向下，对称轴方程为x，（1）当1，即a＜﹣2时，由图可知，当x＝﹣1时，ymax＝﹣a﹣1；（2）当﹣11，即﹣2≤a≤2时，由图可知，当x时，ymax；（3）当1，即a＞2时，由图可知，当x＝1时，ymax＝a﹣1； 故ymax．3．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是　[0，]　．【解答】解：当m＝0时，（x），值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，∴m，综上，0≤m，∴实数m的取值范围是：[0，]，故答案为：[0，]，4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1）　．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1） 题型二. 幂函数考点1.幂函数的图像与性质1．已知幂函数y＝xα的图象过点，则该函数的单调递减区间为（　　）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）【解答】解：根据幂函数y＝xα的图象过点，得4，解得α＝﹣2，所以函数y＝x﹣2，x≠0；所以函数y的单调递减区间为（0，+∞）．故选：D．2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为　m＝3　【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，故答案为：3．3．幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝　3　．【解答】解：∵幂函数（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，∴a＝2，﹣1＜m＜3，又∵m∈N，∴m＝0，1，2，又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，∴a+m＝3，故答案为：3．4．已知函数f（x），且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）　．【解答】解：因为f（x），且f（2）＞f（3），所以其在（0，+∞）上是减函数，所以根据幂函数的性质，有﹣k2+k+2＜0，即k2﹣k﹣2＞0，所以k＜﹣1或k＞2．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 考点2.利用幂函数比较大小1．已知a＝（），b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系是（　　）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：对于yx是增函数，故c＝（）a＝（），而b＝（）1c＝（），故b＜c＜a，故选：A．2．设，则a，b，c的大小顺序是（　　）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：a1，b1，c1；且01，函数y在（0，+∞）上是单调增函数，所以，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝log54，b＝log3，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（　　）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x（m∈R），在（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝0，∴f（x）＝x2，故选：A．