2023佛山一中高二上学期第一次段考试题（10月）数学含答案

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第一部分 选择题、填空题答案与解析
12. 【解析】对于选项A，对任意点M，N，假设MN与AD共面，则M、N、A、D四点共面，
因为，则平面ADNM，同理得到平面ADNM，
则平面ADNM，又平面ADNM，
则A、B、C、D四点共面，不符合条件，故MN与AD异面，故A正确；
将正四面体放入正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，因为M，N分别是线段AB，不含端点上的动点，可设，，其中，，
则，，，
，故与不垂直，故B错误；
假设与，共面，则存在实数x，y满足，
即，解得，
即对于任意实数b且，当时，总有，
即对于任意点M，存在点N，使得与，共面，故C正确；
设与的夹角为，与的夹角为，
则，，
可知、均为锐角，则直线MN与BC所成角为，直线MN与AD所成角为，
当时，，即，
即，可得，即MN与AD，BC所成的角相等，故D正确. 故选
16. 【解析】
第二部分 解答题答案与评分标准
17. 【解】(1)连接，因为N是棱BC的中点，
所以， ------------------1分
因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以.
----------------------------5分
(2) ------7分
因为，，
所以，故. --------------------10分
18.【解】（1）记A=“甲家庭回答正确这道题”, B=“乙家庭回答正确这道题”, C=“丙家庭回答正确这道题” -------------1分
由于相互独立，所以由于和相互独立， ---------------2分
则，所以
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 ------------6分
（2）因为相互独立，且相互互斥， ------------8分
所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为. -------------------12分
19.【解】(1)证明：， -------------------2分
，， -------------------4分
又， 共面． ---------------6分
(2)设，当时， ----7分
-----------8分
， -----------9分
-----------10分
------------------11分
异面直线MN与BC所成角的余弦值为 -----------------12分
20. 【解】 (1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD. --------------1分
连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. ---------------2分
以O为坐标原点， eq \(OB,\s\up8(→))， eq \(OC,\s\up8(→))， eq \(OS,\s\up8(→))所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝ eq \f(\r(6),2)a，于是S eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(6),2)a))，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，0，0))，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)a，0))，
eq \(OC,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)a，0))， eq \(SD,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))， --------------5分
则 eq \(OC,\s\up8(→))· eq \(SD,\s\up8(→))＝0. 故OC⊥SD. 从而AC⊥SD. ---------------6分
(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC. ---------------7分
理由如下：由已知条件知 eq \(DS,\s\up8(→))是平面PAC的一个法向量，且 eq \(DS,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，---8分
eq \(CS,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))， eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).
设 eq \(CE,\s\up8(→))＝t eq \(CS,\s\up8(→))，则 eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))＋ eq \(CE,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))＋t eq \(CS,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a（1－t），\f(\r(6),2)at))， -------10分
而 eq \(BE,\s\up8(→))· eq \(DS,\s\up8(→))＝0⇒t＝ eq \f(1,3). 即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS. -------------11分
而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. --------------------12分
21.【解】Ω={(x，y)| x，y∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36 ------------2分
用A表示事件“”，即， -------------3分
则. ----------------5分
∴. -------------------6分
(2) 用B表示事件“小王赢”，则表示事件“小李赢”．
设， 由题意知，，
所以方程在区间上有实数根，等价于，即，
-------------------------------------------8分
. ， -------------------------10分
---------------------11分
则小王赢的概率小于小李赢的概率，所以这个游戏规则不公平. --------------------12分
--------------8分

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
A
A
C
A
D
BCD
AB
ACD
ACD
题号
13
14
15
16
答案
7