(新高考)高考数学一轮考点复习8.3.2《圆的方程、直线与圆的位置关系》课时跟踪检测(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习8.3.2《圆的方程、直线与圆的位置关系》课时跟踪检测(含详解)，共6页。试卷主要包含了综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。
1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的圆的方程是( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝4 B．(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4
解析：选D 设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq \r(3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4.故选D.
2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：选A ∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，
∴其方程为：eq \f(y＋2,x－1)＝eq \f(1＋2,2－1)，
整理，得3x－y－5＝0.故选A.
3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有eq \f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，∴k＝－eq \f(5,12).
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1
C.eq \r(3) D．±eq \r(3)
解析：选D 根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝eq \r(3)，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝eq \f(3,2)，则有eq \f(|3|,\r(1＋a2))＝eq \f(3,2)，解得a＝±eq \r(3).
5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，则b的值为( )
A．－2或2 B．2或4eq \r(3)＋2
C．－2或4eq \r(3)＋2 D．－4eq \r(3)－2或2
解析：选D 由圆(x－2)2＋y2＝1，
可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，
设圆心(2,0)到直线y＝eq \r(3)x＋b的距离为d，
则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，所以d－r＝eq \r(3)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))－1＝eq \r(3)，解得b＝2或b＝－4eq \r(3)－2，故选D.
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选AC 由题意知C(－2,1)，圆C的半径为eq \r(2)，
则eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，
则直线l的方程为y＝±x＋1.
D(2,0)，圆D的半径为r＝eq \r(3)，
k＝1时，D到直线l的距离为eq \f(|2＋1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)>eq \r(3)，相离；
k＝－1时，D到直线l的距离为eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)0)，则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，所以m2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)，
解得m＝eq \f(5,2)，
所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1)，,y1y2＝\f(－3,t2＋1，)))
则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)
＝eq \f(2ty1y2－3y1＋y2,ty1－3ty2－3)＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),ty1－3ty2－3)＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．