数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案及反思

专题5.2 导数的运算

一、常用导数公式

1. C'=0(C为常数)

2. (xn)'=　　　　(n∈Z) 

3. (sin x)'=　　　　,(cos x)'=

4. (ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) 

5. (logax)'=　　　　(a>0,且a≠1) 

6. (ex)'=ex

7. (ln x)'=,(ln|x|)'=

二、导数的运算法则

[f(x)±g(x)]'=

    [f(x)·g(x)]'=

'=

复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= y'u·u'x这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 

一、nxn-1　  cos x　   -sin x    　axln a     　

二、　f'(x)±g'(x)　    f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)      　

1．常用函数导数

已知函数，若，则实数的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数，

其导数，则，

又由，即，解可得；

故选：A.

【名师点睛】对函数求导，得到，由导数的概念，根据题中条件，列出等式求解，即可求出结果.

下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对选项A，，故A错误.

对选项B，，故B正确.

对选项C，，故C错误.

对选项D，，故D 错误.

故选：B

【名师点睛】本题主要考查导数的求导公式和求导法则，同时考查了符合函数的求导公式.

2．导数的运算法则

已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，因此，.

故选：A.

【名师点睛】求得函数的导数，进而可求得的值.

设函数.若，则_________.

【答案】1

【解析】由得，

又，所以，整理得，

所以.

故答案为：.

【解题技巧】先对函数求导，再由，列出方程求解，即可得出结果，本题主要考查由导数值求参数，熟记导数计算公式即可.

3．复合函数的导数

　已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　. 

【错解】3(2x+3)2   3(2x+3)2

f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,

[f(2x+3)]'= f'(2x+3)=3(2x+3)2.

【错因分析】混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.

【正解】3(2x+3)2　6(2x+3)2　

[解析] f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,

[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.

【名师点睛】复合函数求导，一定要遵循复合函数的求导法则.

1．设，若，则=（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则（    ）

A． B． C．0 D．24

3．下列正确的是

A．

B．

C．

D．

4．已知，则=（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数的导函数，且满足，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．-12

6．以下函数求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．下列求导数运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则=__

9．已知函数，则______.

10．已知函数，则的值为__________．

11．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

12．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ）

A． B． C．2 D．

13．已知函数，则在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

14．已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

15．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）

A． B． 

C．    D．

16．已知函数，是的导函数下列结论正确的是（    ）

A．函数在区间是增函数

B．当时，函数的最大值是

C．有个零点

D．

17. 正确的有（    ）

A．若，则

B．设函数，若，则

C．已知函数，则

D．设函数的函数为，且，则

18. 已知，则______.

19. 设函数．若，则a=_________．

20. 已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）求曲线在点处的切线方程.

1．【答案】C

【解析】对求导得

将带入有．

故选C.

2．【答案】B

【解析】，

.

.

故选：B

3．【答案】D

【解析】,所以A不对，，所以B不对，所以C不对，是正确的，符合求导公式，

故选D．

4．【答案】D

【解析】，

故选：．

5．【答案】B

【解析】，

，

故选．

6．【答案】AC

【解析】对A，，故A正确

对B，，故B错

对C，

所以C正确

对D，，故D错

故选：AC

7．【答案】ABC

【解析】选项A，，故A错误；

选项B，，故B错误；

选项C，，故C错误；

选项D，正确.

故选：ABC.

8．【答案】0

【解析】由题可知：函数的定义域为

由，

可知，所以是偶函数，

且，

又因为，

则有

故答案为：

9．【答案】

【解析】因为函数，

所以，

故答案为：

10．【答案】1

【解析】，，解得，故，

故答案为.

11．【答案】B

【解析】由题意知：.

因为，所以，解得.

故选：B.

12．【答案】D

【解析】依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.

故选：D

13．【答案】D

【解析】由题意，函数，可得，

令，可得，解得，

即，则，所以单调递增，

当，函数取得最小值，最小值为.

故选：D.

14．【答案】D

【解析】设，

，

，

，

，

，

，

即，

解得，

所以不等式解集为，

故选：D

15．【答案】D

【解析】构造函数则 ，

已知当时，，所以在x>0时，<0，即g（x）在（0，+）上是减函数，

因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数

已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，

故当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,

由得 ，解得x<-2或0<x<2

故选D.

16．【答案】AC

【解析】对于A选项，当时，，，所以，函数在区间是增函数，A选项正确；

对于B选项，当时，，

当且仅当时，等号成立，所以，函数在区间上的最小值是，B选项错误；

对于C选项，令，

当时，，，

，则，

此时函数在区间上单调递增，又，，则，

所以，函数在区间上有且只有一个零点；

当时，，，

，，

则.

当时，，当时，，

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，，则函数在区间上单调递减，

且，，则，

所以，函数在区间上有且只有一个零点.

综上所述，函数上有两个零点，C选项正确；

对于D选项，当时，，当时，，

所以当时，，则，

即当时，，D选项错误.

故选：AC.

17. 【答案】BD

【解析】对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，，故D正确；

故选：BD.

18. 【答案】

【解析】

，解得，

故答案为： .

19. 【答案】1

【解析】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

故答案为：.

20. 【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题知：，所以，解得.

所以函数的定义域为.

（2）因为，

所以，

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.