云南师范大学附属中学2024届高三上学期高考适应性月考卷（六）数学

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注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的虚部是（ ）
A B. C. D.
3. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. 3B. 6C. D.
4. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加实践活动，则周六、周日各有两位同学参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在处取到最大值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
7. 函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于数列，定义：（），称数列是的“倒和数列”．下列命题正确的是（ ）
A. 若数列的通项为：，则数列的最小值为2
B. 若数列的通项为：，则数列不是单调递增数列
C. 若数列的通项为：，则时数列单调递减
D. 若数列的通项为：，则
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（），为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据样本平均数可能相同B. 两组样本数据的样本中位数一定不同
C. 两组样本数据的样本标准差可能相同D. 两组样本数据的样本极差一定不同
10. 如图，在边长为1的正方体中取四个顶点，得到正四面体，则下列正确的是（ ）
A. 正四面体体积为
B. 正四面体的外接球的半径为
C. 正四面体的棱切球的半径为
D. 正四面体的内切球的半径、棱切球的半径和外接球的半径成等比数列
11. 过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且该直线与轴的交点为，若（为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，则______．
14. 已知棱长均相等的正三棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为______．
15. 已知椭圆：，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为，，且，则______．
16. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知的内角所对的边为，，，且．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
18. 记为数列的前项和，已知：，（）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列通项公式；
（2）求和：．
19. 如图甲，在菱形与等腰直角中，，，，现将沿旋转，点旋转到点，如图乙，若．
（1）求证：；
（2）求二面角平面角的余弦的绝对值，并据此求出平面在平面上投影的面积．
20. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球决赛，中国队以3比0战胜日本队，夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军．她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的精神．某学校为了弘扬女排精神，组织高三同学参加《三环杯》排球赛，采用5局3胜制，每局25个回合，决胜局15个回合．在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方．经统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，乙队获胜的概率为，且在第一回合中，甲队和乙队拥有相同的发球权．
（1）在第一局比赛中，求在前三个回合里乙队获得2分的概率；
（2）在第二局比赛中，假设由乙队先发球，试比较在第五个回合中，甲乙两队谁发球的概率更大？
21. 已知双曲线：（，）过且离心率为．
（1）求的方程；
（2）若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线恒过定点，且该定点不在上．
22. 已知函数．
（1）若在处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）若，且恒成立，求的取值范围．