2023届内蒙古包头市高三上学期开学调研考试数学（理）试题含解析

2023届内蒙古包头市高三上学期开学调研考试数学（理）试题

一、单选题

1．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先用复数的四则运算求出复数，再写出其共轭复数即可.

【详解】因为，所以.

故选：B.

2．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先用列举法把集合表示出来，再求集合与的并集.

【详解】因为，，

所以.

故选:D.

3．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断函数为奇函数，排除CD；根据特殊值的大小，排除A选项.

【详解】定义域为，

又，故为奇函数，排除CD；

又，，显然，故A错误，B正确.

故选：B

4．已知向量满足，它们的夹角为，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据向量的数量积的坐标公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，向量满足，它们的夹角为，

则.

故选：C.

5．从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（       ）

A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5

【答案】C

【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为

【详解】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.

故选：C

6．双曲线的一条近线方程为，则其离心率为（       ）

A．3 B． C． D．5

【答案】A

【分析】由渐近线方程得，再由计算即可

【详解】∵渐近线方程为，即，故.

故选：A

7．在中，，则（       ）

A． B．5 C． D．6

【答案】B

【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.

【详解】，，

而，，在中，由余弦定理得：

，代入数据得：，

解得：或（舍）

故选：B.

8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（       ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】模拟执行程序，依次计算可得.

【详解】当输入的时，

S=0，K=1，K6；

S=1，，K=2，K6；

S=，，K=3，K6；

S=2，，K=4，K6；

S=，，K=5，K6；

S=3，，K=6，K6；

S=，，K=7，K6，输出S=.

故选：D

9．在正方体中，E、F分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，连接，根据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，连接，

在正方体中，因为是的中点，可得，

所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，

设正方体的棱长为，可得，

由平面，且平面，可得，

所以，

在直角中，可得.

故选：A.

10．若在是增函数，则a的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是单增区间的子集.

【详解】，

根据函数图象和性质，在上单调递增，

在上单调递减.

而，所以a的最大值为.

故选：A.

11．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.

【详解】由题意得：，则，

由椭圆定义可知：，

所以，即，

所以，

又，所以，即

故E的离心率为.

故选：C.

12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（       ）

A．13 B．0 C． D．1

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.

【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，

又，所以，即，

所以，即是以为周期的周期函数，

又，所以，，

，

所以，

所以

.

故选：D

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为_____________．

【答案】

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

【详解】，曲线在点处的切线斜率，

所求切线方程为：，即.

故答案为：.

14．若满足约束条件，则的最小值为_____________．

【答案】

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

结合图形，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，

由，解得，所以目标函数的最小值为.

故答案为：.

15．已知，且是第一象限角，则_____________．

【答案】

【分析】利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，所以，

即，解得，

又，解得或，

因为是第一象限角，所以；

故答案为：

16．已知圆锥的顶点为P，母线的夹角为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_____________．

【答案】

【分析】由题得，为正三角形，由的面积求得PA，再由与圆锥底面所成角求得底面半径，即可根据公式求得侧面积

【详解】由题，，则为正三角形，，∴母线，

又与圆锥底面所成角为，∴底面半径，

∴圆锥的侧面积为.

故答案为：

三、解答题

17．记为等差数列的前n项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最大值．

【答案】(1)

(2)，21

【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案；

（2）根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可直接求出答案.

【详解】(1)设数列的公差为，由得，

即，由，得．

所以的通项公式为．

(2)由（1）得．

因为，

所以当或时，取得最大值，最大值为21．

18．根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；

(2)求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表：

(3)根据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？

附：

【答案】(1)乙运动员的成绩更好，理由见解析

(2)；填表见解析

(3)没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异

【分析】（1）根据茎叶图分析数据的分布情况判断即可；

（2）根据中位数的定义求解，再完善表格即可；

（3）计算卡方并对比表格中的数据判断即可.

【详解】(1)乙运动员的成绩更好，理由如下：

（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．

（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．

（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定．

以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．

(2)由茎叶图可知，列联表如下：

(3)由于，

所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．

19．如图，在三棱锥中，，D为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若E是棱上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，结合等腰三角形的性质分别证明即可；

（2）当的面积最小时，根据三角形的面积公式可得当的面积最小时，取最小值，此时得，再根据为与平面所成的角求解即可；或以D为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量求法求解即可.

【详解】(1)因为，又D为的中点，

所以，且，

连接，所以为等腰直角三角形，

且，

，由，可知，

由，平面,可知平面．

(2)解法1：因为，所以，

当的面积最小时，取最小值，此时得，

这时为的中位线，且．

因为，且，平面，所以平面，故为与平面所成的角．

因为E是的中点，所以．

在中，，

所以与平面所成角的正弦值为．

解法2：同解法1，且.因为两两互相垂直，故以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则．

，

设平面的法向量为，则，即，

所以可取，又，

设与平面所成角为，则．

20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．

(1)求C和的方程；

(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）设的方程为，代入点的坐标得的值，得到的方程，设的方程为，联立方程组，求得，结合，求得的值，即可得到直线的方程；

（2）由（1）得线段中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.

【详解】(1)解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．

所以焦点的坐标为，

设的方程为且，

联立方程组，整理得，

所以，

所以．

由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．

(2)解：由（1）得线段中点坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为，即，

设所求圆的圆心坐标为，则，

解得，或，即圆心坐标为或，

又由抛物线的准线方程为，

可得点或到准线的距离分别为或，

即圆的半径分别为或，

所以圆的方程为或．

21．已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)讨论的零点情况．

【答案】(1)递增区间为，递减区间为

(2)答案见解析

【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；

（2）根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.

【详解】(1)解：当时，则，可得，

令，解得，

当时，，

当时，，

当时，，

所以在单调递增，在单调递减．

(2)解：当时，；

当时，等价于，

令，则，

当时，；

当时，；

当时，；

所以在单调递增；在单调递减，

且当时，，当时，；当时，，

如图所示，可得为的极大值，

当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；

当时，与有2个交点，即有2个零点；

当时，与有3个交点，即有3个零点．

综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；

当时，有3个零点．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化函数的零点个数为方程的根的根数，进而利用分离参数法，转化为函数的交点个数.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．

(1)若，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出曲线C的普通方程和直线l的普通方程，联立即可求出交点坐标.

（2）设C上的点坐标为，根据点到直线的距离公式即可求得a.

【详解】(1)曲线C的普通方程为，

当时，l的普通方程为，

由解得或

所以C与l的交点坐标为．

(2)l的普通方程为，

故C上的点到l的距离．

当时，d的最大值为，由题设得，

所以；

当时，d的最大值为，由题设得，

所以．

23．已知．证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用整式的乘法化简，再利用乘法公式及完全平方数的非负性证明即可；

（2）利用基本不等式计算可得.

【详解】(1)证明：因为，，，

所以

，当且仅当时取等号．

(2)证明：因为

所以，所以，所以，

当且仅当时取等号．