2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则＝（       ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据集合交集补集运算求解即可.【详解】解：因为，，所以或，所以．故选：B．2．命题“，”的否定为（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由特称命题的否定需改变量词，否定结论可得.【详解】命题“，”的否定为“，”．故选：C．3．若，满足约束条件，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先画可行域，再结合图象求出最优解，最后计算目标函数的最小值【详解】可行域如图所示，当直线过点时，取得最小值．所以的最小值为故选：D．4．已知点是角的终边上一点，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义与二倍角公式计算求解即可.【详解】解：因为点是角的终边上一点，所以，，所以．故选：A．5．已知向量，，且，若，则实数m的值为（       ）A．0 B．  C． D．【答案】D【分析】结合向量数量积的坐标表示与模的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量，，且，所以，得（舍）或，即，所以，,所以，解得．故选：D．6．如图，长方体中，，若直线与直线所成的角为，则该长方体的表面积为（       ）A．48 B．32 C．24 D．12【答案】C【分析】由题知该长方体是棱长为2的正方体，再计算表面积即可.【详解】解：连接，，，因为在长方体中，，所以，，又，所以即为直线与直线所成的角，所以，所以，设，，解得，所以该长方体是棱长为2的正方体，其表面积为．故选：．7．若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（       ）A． B． C．1 D．－1【答案】C【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值.【详解】直线的方程可化为所以直线恒过定点，因为所以点在圆内，由圆的性质可得当时，最小，周长最小，又，所以，此时．故选：C．8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，由对任意的，均有成立可得，，结合，即可得出答案.【详解】由题意知，因为恒成立，所以在处取得最大值，故，，即，，因为，当时，取得最小值．故选：B．9．某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）；②；③方程比方程拟合效果好；④y与x正相关．以上说法正确的是（       ）A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④【答案】D【分析】结合样本中心点过回归直线方程，已知数据，散点图等依次判断各命题即可得答案.【详解】解：将代入，得，①正确；将，代入得，②正确；由散点图可知，回归方程比的拟合效果更好，③错误；因为随的增大而增大，所以与正相关，④正确．故①②④正确．故选：D．10．已知，，，则（       ）A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断其单调性即可解出．【详解】令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，，，因为，所以．故选：．11．已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（       ）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案.【详解】因为，所以所以故，所以满足的正整数的最大值为21．故选：C．12．已知定义域为的偶函数的图像是连续不间断的曲线，且，对任意的，，，恒成立，则在区间上的零点个数为（       ）A．100 B．102 C．200 D．202【答案】A【分析】结合题意得是以4为周期的函数，且在一个周期内有两个零点，再根据周期性求解即可.【详解】解：令，得，即，因为对任意的，，，恒成立，所以，在上单调递增，因为为偶函数，所以，在上单调递减，，所以，所以是以4为周期的函数，因为在一个周期内有两个零点，故在区间上的零点个数为．故选：A． 二、填空题13．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______.【答案】2【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．【详解】解：复数是纯虚数，，解得，故答案为：2．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题．14．已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【分析】由条件对，，可推测在上可能为对数函数，再由确定其解析式.【详解】因为对，，；所以在上可能为对数函数，故满足条件①，又，所以，故符合上述条件的函数可能为：，故答案为：（答案不唯一）.15．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．【答案】【分析】分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，进而结合抛物线的性质求解即可.【详解】解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，易得，则，由抛物线的性质可得，，所以，，解得，故．故答案为： 16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则______．【答案】【分析】由利用余弦定理求得，再由利用正弦定理化边为角，结合内角和定理和两角和差正弦公式化简可求.【详解】由得，即，又，故，由得，所以，即，化简得整理得，因为所以，即．故答案为：. 三、解答题17．在①；②；③，三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答．已知数列的前项和为，且，______．(1)；(2)设求数列的前项和．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，用构造法可求得数列的通项公式，选②，利用与的关系，可求得数列的通项公式，选③，利用与的关系，先求得数列的递推关系，再用构造法可求得数列的通项公式（2）利用错位相减法即可求解【详解】(1)选①，由得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，，所以．选②，由得，作差得，符合上式，所以．选③，由得作差得，即，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，，所以．(2)，所以．设，，，，作差得，化简得，所以．18．在实施“乡村振兴”的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，种植优良品种柑橘．现在实验基地中种植了相同数量的、两种柑橘．为了比较、两个柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取、两种柑橘各株，并根据株产量（单位：）绘制了如图所示的频率分布直方图（数据分组为：、、、、、）： (1)求、的值；(2)将频率当做概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于的概率；(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值（同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表），并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由．【答案】(1)，(2)(3)品种的柑橘更好；理由见解析【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得、的值；（2）计算出、两个品种柑橘株产量不低于的频率，再利用频率、频数和总容量之间的关系可求得所求事件的概率；（3）利用频率分布直方图计算出、两个品种柑橘株产量的平均值，利用平均值的大小关系或者从、两个品种柑橘株产量在及以上的占比判断可得出结论.【详解】(1)解：由频率分布直方图可得，解得，，解得．(2)解：品种柑橘株产量不低于的频率为，品种柑橘株产量不低于的频率为，故株柑橘中产量不低于的频率为，所以在所有柑橘中随机抽取一株，其株产量不低于的概率为．(3)解：A品种柑橘株产量平均数的估计值为，，设品种柑橘株产量平均数的估计值为，，品种的柑橘更好．理由如下：方法一：的平均产量大于的平均产量．方法二：由频率分布直方图可知，品种柑橘株产量在及以上的占比为，品种柑橘株产量在及以上的占比为，故品种的柑橘更好．19．如图，梯形ABCD中，，， ，，DE⊥AB，垂足为点E．将△AED沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，连接PB，PC，M，分别为PC和EB的中点．(1)证明：平面PED；(2)求点C到平面DNM的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PB中点，先证明平面平面PED，由此证明平面PED；（2）利用等体积法可求点C到平面DNM的距离．【详解】(1)如图，取PB中点，连接MQ，NQ，因为M，Q分别为PC和PB的中点，故．又平面，平面PED，所以平面PED．同理平面PED．又，平面，平面MNQ，所以平面平面PED．因为平面MNQ，所以平面PED．(2)因为，，，BE，平面BCDE，所以平面BCDE，．点到平面CDN的距离为，所以．又平面BCDE，故，又因为，，，平面PED，所以平面PED，又平面PED，故，所以，．又，，，，，，故．所以，．所以．又，设点到平面DNM的距离为，则，即，得，所以点C到平面DNM的距离为．20．已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，再待定系数求解即可得答案；（2）结合题意设，，，则，进而根据，结合基本不等式求解即可.【详解】(1)解：设椭圆的焦距为，则，即，所以，即，①又椭圆经过点，则，②由①②解得，，所以椭圆的方程为．(2)解：当直线垂直于坐标轴时，点不能构成三角形，不符合题意，当直线不垂直于坐标轴时，设，，，则，联立得，则，．又，，易知与同号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．21．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求定义域，再求导可得，分和两种情况讨论和的解集即可；（2）先将问题转化为证明，又因为，所以，所以．构造函数，用导数求其最值即可求解【详解】(1)的定义域为，．当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，令，得，，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)当时，要证，只需证，即证，即证．因为，所以，所以．设，则．易得在上单调递增，又，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以当时，．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于两点，当时，求直线的普通方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式求解即可；（2）根据题意，结合直线参数方程的几何意义及弦长公式求解得直线的倾斜角，再求普通方程即可.【详解】(1)解：由得，因为，所以，即.(2)解：将（为参数，代入，整理得．设所对应的参数分别为，，则，．所以，解得，所以或，故直线的参数方程为（为参数）或（为参数），所以直线的直角坐标方程为或23．已知，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题，当时， ，①   或② 或③解不等式组①得解不等式组②得解不等式组③得所以原不等式的解集为．(2)当且仅当和异号时等号成立即．若恒成立，只需，解得，所以实数的取值范围为．