2022届河北省衡水中学高三下学期素养提升五数学试题含解析

这是一份2022届河北省衡水中学高三下学期素养提升五数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

2022届河北省衡水中学高三下学期素养提升五数学试题

一、单选题
1．已知集合，，若集合，则下列阴影部分可以表示A集合的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用Venn图先判断集合，再在集合中去掉的部分，即可得到答案.
【详解】，是两个集合的公共部分，，在集合 中去掉的部分，即选B.
故选：B.
2．已知复数z满足，则z的虚部是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过复数的除法和分母有理化，结合，解得，再利用虚部为系数即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以的虚部为.
故选：B.
3．已知且，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用指数函数的单调性即可判断
【详解】由“”可知，函数在上单调递增，所以，充分性成立；
因为，所以当时，则；当时，则，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4．若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）
A．（0，1] B．[0，1） C．（0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】D
【分析】根据f（x）的定义域，结合题意列不等式组求出g（x）的定义域．
【详解】由y=f（x）的定义域为（0，2]，
令，
解得0＜x＜1，
∴函数g（x）=的定义域是（0，1）．
故选D．
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．
5．古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直.若动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M在直线之间的轨迹是（       ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记为，直线为，为，进而可根据条件表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.
【详解】因为在平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直，所以，平行，又因为动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，记为，直线为，为，
设，且动点M在直线之间，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为， 所以，
若，则；若，则，
所以，即，故动点M的轨迹为圆.
故选：A.
6．在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算（，）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后利用换底公式及指数式对数式互化即得.
【详解】由题可知，
∴，又，，
∴，，
∴，即.
故选：D.
7．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图可知过两曲线的交点的直线与轴的交点为，所以．当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为，，则其对称点为，，将其代入曲线，得到的关于的方程的解有且只有两个，进而可得结果．
【详解】解：显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的
两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上．
当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点
为，，其中，且，
则其关于点的对称点为，，
所以这个点在曲线上，
所以，即，
所以，即，此方程的的解必须刚好有且只有两个，
当时，其对称点的横坐标刚好为，故，
于是，且，
，即，
故选：．
8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由题设得到：，从而得到，即可说明数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和求和公式得到结果.
【详解】解：由题知


两边取对数得：
令即，所以数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，

故选：B

二、多选题
9．2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道､大部分知道､少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%､49.0%､34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是（       ）
A．柱形图 B．茎叶图 C．扇形图 D．频率分布直方图
【答案】AC
【分析】由实际问题中调查类型判断所用图示即可.
【详解】解：因为上述结果是分类比例，所以适合表示上述结果的是柱状图和扇形图.
故选：AC
10．已知，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用指数大小比较和对数大小比较进行选择.
【详解】因为是上的增函数，，所以，故A正确；
，故，故B正确；
，故，故C错误；
取，，满足，，但，故D错误.
故选：AB
11．已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（       ）
A．是钝角三角形
B．
C．角的最大值为
D．角的最大值为
【答案】ABC
【分析】A. 证明,即得是钝角三角形，故该选项正确；
B. 由题得是最大角，利用分析法证明该选项正确；
C.由题证明，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确；
D.当时 ，.所以该选项错误.
【详解】A. 由题得,所以是钝角三角形，故该选项正确；
B. 由题得是最大角，所以，假设，所以，所以该选项正确；
C.由题得 所以，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确；
D. 由已知得
所以,
当时 ，.所以该选项错误.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：最值问题常用的求解方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
12．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（       ）
（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）

A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B．若，则该几何体的表面积为
C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
【答案】ABD
【分析】分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，进而得到为二面角的平面角，进而判定A正确；连接PM，则，结合截面PORST，利用表面积公式可判定B正确；连接PM，设外接球半径为R，连接OA，，OD，，求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为，，结合，可得，利用，可判定D正确．
【详解】设M，N分别为正六棱台上、下底面的中心．
对于选项A，如图1，分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，
连接RS，RQ，TS，TQ，则，，
可得Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，
连接PM，则N在PM上，得如图2所示的截面PQRST，四边形QRST为等腰梯形，
且为二面角的平面角，即，
过点R作交QT于点L，则，可得，
即，而，
故，解得，故A正确；

对于选项B，如图3为截面，依题意得，，
连接PM，则，又，所以，，
如图4为截面PORST，从而，，故该几何体的表面积，故B正确；

对于选项C，如图5所示的截面，
连接PM，依题意可知，，，
若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM上，
设外接球半径为R，连接OA，，OD，，得，，解得，又，矛盾，
故该几何体不存在外接球，C错误；

对于选项D，设该几何体上、下两部分的体积分别为，，，，
则，，由，可得，
结合，可知，，
因此该几何体的体积，故D正确．
故选：ABD.

三、填空题
13．在的展开式中，的系数是___________.
【答案】112
【分析】由二项式定理求解
【详解】由二项式定理知的展开式的通项为

令得
故
故答案为：112
14．已知平面向量，，若与垂直，则实数______．
【答案】1
【分析】利用向量数量积的坐标表示，即可求解.
【详解】因为与垂直，所以，即，，解得．
故答案为：
15．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.
【答案】8
【分析】设，则可得设，，然后由，可求出的范围，从而可求出点的范围，进而可求得线段AB的最大长度.
【详解】设，则，
对于，由，得，所以，
所以，
因为，所以，
所以，得，
解得，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
所以线段AB的最大长度为8，
故答案为：8.

四、解答题
16．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据的关系求的通项公式；
（2）应用裂项相消法求的前项和.
【详解】(1)当时，，故；
当时，，故，
故，则，又满足，
∴，.
(2)由（1）可得：，
故.
17．某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.
(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
，

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)12人
(2)元

【分析】、
（1）设男性患者有人，可得出列联表，计算出卡方值，列出不等式可求解；
（2）可得该试验每人的接种费用可能取值为，，求出概率即可得出.
【详解】(1)设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：

型病
型病
合计
男



女



合计




假设：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到，
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
因为，，所以的最小整数值为12，
因此，男性患者至少有12人.
(2)设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，.
则，
，
所以，
因为，试验人数为1000人，
所以该试验用于接种疫苗的总费用为，
即元.
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)

【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【详解】(1)，

，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
(2)将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
19．已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）或；
（2）见解析.
【分析】（1）设，，根据，可知；由圆的性质可知圆心必在直线上，可设圆心；利用圆心到的距离为半径和构造方程，从而解出；（2）当直线斜率存在时，设方程为：，由圆的性质可知圆心必在直线上；假设圆心坐标，利用圆心到的距离为半径和构造方程，解出坐标，可知轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知为抛物线焦点，且定值为；当直线斜率不存在时，求解出坐标，验证此时依然满足定值，从而可得到结论.
【详解】（1）在直线上       设，则
又       ，解得：
过点，       圆心必在直线上
设，圆的半径为
与相切       
又，即
，解得：或
当时，；当时，
的半径为：或
（2）存在定点，使得
说明如下：
，关于原点对称且
直线必为过原点的直线，且
①当直线斜率存在时，设方程为：
则的圆心必在直线上
设，的半径为
与相切       
又
，整理可得：
即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点
，即抛物线上点到的距离       

当与重合，即点坐标为时，
②当直线斜率不存在时，则直线方程为：
在轴上，设
，解得：，即
若，则
综上所述，存在定点，使得为定值.
【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.
20．直四棱柱被平面所截，所得的一部分如图所示，．

（1）证明：平面；
（2）若，，平面与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）要证线面平行只要证平面外一条直线平行于平面内一条直线即可，本题证明为平行四边形即可得证；
（2）根据所给关系，建立直角坐标系，求出两平面的法向量，利用平面与平面所成角的正切值为，可求出E点坐标，再利用几何关系或者投影即可得解.
【详解】（1）依题：平面与两平行平面，的交线分别为，，
故有，又，故有平行四边形，
∴，面，面，∴平面．
（2）中，由余弦定理可得，由勾股定理得，又平面，
故而，，两两垂直，如图建系．

【法一求】取中点，由，得平行四边形，
∴，平面，作，（连），又，
∴平面，得，又，∴为所求二面角的平面角．
易求，又，．
【法二求】面的法向量显然为，设面的法向量为，，
，令，，依题：．
由平面，点到平面的距离转化为到平面的距离，，，
，设平面的法向量为，可为，
．
【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了二面角，点到平面的距离，向量代数法的综合应用．本题入口宽，较开放，传统几何法与向量代数法都可以解决．重在考查考生的空间分析与想象能力，转化思想，求解运算能力，并体现向量法解题的优化作用．
21．已知函数在处取得极值为的导数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，的取值集合是，求中的最大整数值与最小整数值．
（参考数据：，，）
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）最大整数值是16，最小整数值是0．
【分析】（1）求得，根据，再由，解得或，分，和三种情况讨论，即可求解；
（2）由，求得，当时，不合题意，当时，利用导数求得，令，再结合导数求得函数的单调性，进而求得的范围，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，
因为在处取得极值，可得，
又由，即，解得或，
①若，则，在上单调递增，
与在处取得极值矛盾，故．
②若，当或时，；
当时，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
③若，当或时，；
当时，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
综上，当时，不符合题意；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）设，则，
（i）若，则，不合题意．
（ⅱ）若，由，可，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，
令，则是的最小值，
，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，，
，
，
设，则，，
故中的最大整数值是16，最小整数值是0．
【点睛】方法技巧：（1）函数的导数也是函数，有时需要通过多次求导解决问题；
（2）可以在演草纸上画出函数的大致图象，使代数推理和直观推理有机结合；
（3）不等式问题往往需要构造函数转化解答；
（4）含参数问题往往需要分类讨论，注意分类的标准，要做到不重不漏．

五、双空题
22．瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为___________；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为___________.（此人身高忽略不计）
【答案】     60     3
【分析】根据题意画出图形，设高度为，则可表示出，在中利用余弦
定理即可求出的值；由已知数据易知，则，则可得到
，再由两角和的正切公式计算出结果.
【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，
该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为，
则，,
所以，
在中由余弦定理可知：
即，
解得：;
如图，两段山道为,过作于点，
由题意知：，，
所以，
在中，即，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
，
所以.
故答案为：60；3.