河北省衡水中学2023届高三考前冲刺数学试题（含解析）

河北省衡水中学2023届高三考前冲刺数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知（i是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．四 B．三 C．二 D．一

2．设全集为实数集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知抛物线的准线与圆相切，则（    ）

A．6 B．8 C．3 D．4

4．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（    ）

A． B． C． D．

5．若随机变量，则有如下结论：（，，）高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩附从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（    ）

A．19 B．12 C．6 D．5

6．如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱，构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（    ）

A． B． C． D．与点C的位置有关

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（    ）

A． B． C．1 D．2

二、多选题

9．甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（    ）

A．甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数

B．甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数

C．甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数

D．甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差

10．如图，正方体的棱长为1，以下结论正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为60° B．直线与垂直

C．直线与平行 D．三棱锥的体积为

11．若过点有两条直线与圆相切，则实数m的可能取值是（    ）

A．－3 B．3 C．0 D．

12．如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足，，…，即，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，且1，2，，，…，依次为该数列中连续的前项，则数列的前100项和可能的取值为（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 _________

14．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数________．

15．设向量，满足，，与的夹角为，则________．

16．设曲线在点处的切线为，在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是______.

四、解答题

17．设是等差数列，，且成等比数列，

（1）求的通项公式：

（2）记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围.

18．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，

(1)求的值及的面积；

(2)的平分线与BC交于D，，求a的值．

19．如图，在等腰梯形中，，，将沿着翻折，使得点到点处，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

20．已知椭圆的左、右焦点分别是、，其离心率，点是椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线，与椭圆分别相交于点，求证：为定值．

21．某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.

以频率作为概率解决如下问题：

（1）求实数的值；

（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；

（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

22．已知函数．

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）证明：当时，在上有且仅有一个零点．

参考答案：

1．D

【分析】先通过复数的四则运算求出z，再算出，进而利用复数的几何意义即可得到答案.

【详解】,所以，所以在复平面内对应的点在第一象限.

故选：D.

2．D

【分析】先求得，再根据交集运算即可得出结果.

【详解】,

,

.

故选：D.

3．D

【分析】根据题意，求出圆的圆心为和半径为4，以及抛物线的准线方程，利用直线与圆相切的性质得出，即可求出的值．

【详解】由题可知，圆的圆心为，半径为4

抛物线的准线与圆相切

则有，解得：．

故选：D.

【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．

4．B

【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．

【详解】设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示：

由相似关系可得，，所以，则

即， 可得 .

故选：B．

【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．

5．C

【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.

【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，

∴，

根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分的概率为，

∴理论上说在130分以上人数约为.

故选：C．

6．C

【分析】设底面圆的圆心为O，球心为，在中，由勾股定理可求得所求球的半径，然后根据球的表面积公式可得结果.

【详解】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为，连接，

则平面，且在线段上.易知，.

设球的半径为R，

在中，由勾股定理得，解得.

故球面面积为.

【点睛】本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.

7．B

【解析】找中间变量转化比较得解.

【详解】因为，，

故.

故选：B.

【点睛】对数函数值大小比较的方法方法点睛：

单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底

中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”

图象法：根据图象观察得出大小关系

8．C

【分析】根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.

【详解】解：为上的奇函数，且当时，

，即，

，

当时，，

为偶函数，

，

，

又为上的奇函数，

，

，

，

是周期为4的周期函数，

，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解.

9．AD

【解析】分别根据条形图求出甲和乙运动员的中位数、众数、平均数、方差，经过比较即可判断四个选项的正确性，即可得正确选项.

【详解】由图可得甲运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环，

所以甲运动员测试成绩的中位数为，众数为，

平均数为，

方差；

乙运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环，

所以乙运动员测试成绩的中位数为，众数为，

平均数为，

方差，

故选项A正确，B不正确，C不正确，D正确，

故选：AD

10．ABD

【分析】连接,  在正方体中，，可判断选项A,B; 假设直线与平行，可得矛盾，从而可判断选项C；由可判断选项D.

【详解】选项A. 连接,  在正方体中，

所以(或其补角)异面直线与所成的角

又在正方体中，

所以为等边三角形，所以，故A正确.

选项B. 连接,  在正方体中，

又在正方体中，

所以直线与垂直，故选项B正确.

选项C. 若直线与平行，则 四点共面.

又在侧面上，则点也应在侧面上，这与正方体相矛盾.

所以直线与不平行，故选项C不正确.

选项D. 三棱锥的体积

所以选项D正确.

故选：ABD

11．CD

【解析】由题意得点在圆外，列出不等式解出，再由二元二次方程表示圆时的特征列出不等式，综合得结果.

【详解】由题意过点有两条直线与圆相切，

 则点在圆外，即，解得，

 由方程表示圆，则，解得，

 综上，实数的取值范围是.

即实数取值范围是0，.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：

（1）将题意等价转化为点和圆的位置关系；

（2）理解二元二次方程在什么情况下表示圆.

12．BC

【分析】根据对称数列的定义讨论，和求解.

【详解】由题意可知数列为1，2，，，…，，，…，，．1．

若，则；

若，则；

若，则．

故选：BC．

13．

【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率.

【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为，

因为渐近线被圆所截得的弦长为，

所以圆心到渐近线的距离为，

即 ，所以，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

14．（答案不唯一）

【解析】可取满足题意的，求出其原函数，令解出，从而得到符合题意的

【详解】可令，满足

则

故

故

故答案为：（本题答案不唯一）

15．7

【分析】先计算出，再代入中即可得到答案.

【详解】由已知，，所以.

故答案为：7

【点睛】本题考查利用定义计算向量的数量积，涉及到数量积的运算律，是一道容易题.

16．

【分析】求出，利用两切线垂直可以得到，参变分离后可得，令，换元后可求函数的值域，从而得到实数的取值范围.

【详解】，，

存在，使得，即,

,，令，

,，∴，

故，∴答案为.

【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.含参数的方程的有解问题，可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题.

17．（1）；（2）或.

【分析】（1）设数列的等差为d，根据已知建立方程，解之可得数列的通项公式.

（2）由（1）得，由已知得不等式，解之可求得n的取值范围.

【详解】解：（1）∵是等差数列，，且成等比数列，设数列的等差为d，.

∴，∴，解得，

∴；

（2）由，得，

由，得，即，解得或.

又，∴n的取值范围为或.

18．(1)，；

(2)．

【分析】（1）结合正弦定理边角互化即可求出，即可求出的值；再由余弦定理求出，由三角形的面积公式求出的面积；

（2）因为的平分线与BC交于D，所以，再由三角形的面积公式和余弦定理即可求出答案.

【详解】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得，

即，因为B，，

所以，，

所以，因为在锐角中， ，所以．

所以，因为，

所以，解得，

所以的面积.

（2）因为的平分线与BC交于D，，所以，

即，所以，由于，

所以，所以，所以．

19．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）过C做，交于E，连接AC，可得，根据余弦定理，求得，结合勾股定理，可证，又，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证.

（2）如图建系，求得各点坐标，进而可得，，，坐标，即可求得平面，的法向量， ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角平面角的余弦值，即可得答案.

【详解】解：（1）由等腰梯形中，，

过C做，交于E，连接AC，如图所示

根据对称性可得，，

所以，可得，

又由，

所以，即，

所以，即，

又因为，且，

所以平面，又由平面，

所以平面平面.

（2）取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴正方向建立空间坐标系，

则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，令，得一个法向量，

又，令，则，得一个法向量，

所以，

所以

所以二面角的平面角的正弦值为.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）设内切圆的半径为，可得，当为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即最大，由此得，由内切圆面积最大值可得满足的方程，结合离心率和椭圆关系可构造方程组求得结果；

（Ⅱ）设，当时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出和，代入整理可得定值；当时，易求得，由此可得结论.

【详解】（Ⅰ）设内切圆的半径为，则，

，

当的面积最大时，内切圆的半径最大，

则当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，最大值为，

的最大值为，又内切圆面积的最大值为，，

由得：，椭圆的标准方程为：．

（Ⅱ）设，，，

①当时，设直线，的直线方程分别为，，

由得：，，

，，，

同理由可得：，

；

②当时，直线，与轴重合，则

则；

综上所述：为定值．

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；

④化简所得函数式，消元可得定值.

21．（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

【解析】（1）根据在频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可以求出实数的值；

（2）分别求出当产品品质为优、为中、为差时的频率，然后列了分布列，

（3）根据题意，得到该公司年利润的函数关系式，然后利用导数求出公司年利润最大值.

【详解】解：（1）由题意得，解得；

（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；

当产品品质为中时频率为，此时价格为；

当产品品质为差时频率为，此时价格为；

以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：

（3）设公司年利润为，则

整理得，

显然当时，，时，，

∴当年产量时，取得最大值.

估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

【点睛】本题考查了频率直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学阅读能力，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.

22．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，即在上恒成立；令，利用导数可求得，由此可得的范围；

（2）当时，由可知，将问题转化为证明在上有且仅有一个零点，利用导数可说明在上单调递增，结合零点存在定理可说明在上有且仅有一个零点，由此得到结论.

【详解】（1）由题意得：，

若在上单调递减，则在上恒成立，

在上恒成立，

令，则，

当时，，

当时，，，，，

又，

当时，，在上单调递减，

，，即的取值范围为；

（2）当时，，则，

当时，，在上恒成立，

只需证在上有且仅有一个零点；

，当时，，，

在上恒成立，在上单调递增，

又，，

在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点.

【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.