江苏省连云港市海滨中学2023届高三数学上学期第一次学情检测试题（Word版附解析）

2022—2023学年高三上学期第一次学情检测

数学

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，或，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据求解.

【详解】因为集合，或，且，

所以，

故选：B

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用对数式的真数为正得到关于的一元二次不等式，不等式的解集即为该函数的定义域.

【详解】要使函数有意义，

须，

即，

即，

解得：，

即函数的定义域为.

故选：A.

3. 已知、，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】充分性：取，，则成立，但不成立，充分性不成立；

必要性：取，，则成立，但不成立，必要性不成立.

因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

4. 函数的图像一定经过点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

令即可求出定点.

【详解】当，即时，，

即函数的图象一定经过点.

故选：B.

5. 若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】分和两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值.

【详解】时，在上单调递增，

则，解得，

此时，.

当时，

在上单调递减，

所以，解得，

此时，.

综上，m的值为或，

故选：D.

6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

7. 若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A. 或3 B. 3 C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求出实数的值

【详解】解：因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，

故选：B

8. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数的运算性质求出，由此可得答案.

【详解】

,

所以.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的有（　　）

A. ，

B. ，

C. 若p：，则：

D. 若p：，则：

【答案】BC

【解析】

【分析】通过举例判断A，B，根据含量词的命题的否定方法判断C，D.

详解】当时，，A错误，

当时，，B正确，

命题“∃n∈N，n2＞2n”否定是命题“∀n∈N，n2≤2n”C正确，

命题“”的否定是命题“”，D错误.

故选：BC.

10. 已知，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最大值为

C. 的最小值为5 D. 的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式易得结论.

详解】∵已知，

∴，

∴即，当且仅当即时取等号，

对于A，，

当且仅当即时取最小值，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，

当且仅当，即时取最小值5，故C正确；

对于D，，当且仅当即时取等号，故D错误.

故选：BC.

11. 已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】首先根据已知条件得到集合与集合的包含关系，然后通过交并补运算逐一验证选项即可.

【详解】∵∴，

若是的真子集，则，故A错误；

由可得，故B正确；

由可得，故C错误，D正确．

故选：BD．

12. 函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A. 2 B.  C. 0 D. 1

【答案】ABC

【解析】

【分析】只有一个零点可化为函数与函数有一个交点，作函数与函数的图象，结合图象可直接得到答案.

【详解】解：∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

 
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.

综合得：或.
故选：ABC.

【点睛】本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，，则集合B的子集的个数是_____________.

【答案】8

【解析】

【分析】由题意，计算出集合的所有元素，根据子集个数与元素个数的关系，可得答案.

【详解】由，，，，，且，故，

则集合B的子集的个数为．

故答案为：.

14. 已知，函数若，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】整理可得在上恒成立，根据x的范围，可求得的范围，分析即可得答案.

【详解】由题意，可得，即，

当时，，所以在上恒成立，

只需，

当时有最小值为1，则有最大值为3，

则，实数的取值范围是，

故答案为：

16. 已知，，，则，，的大小关系为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可

【详解】因为在上为增函数，且，

所以，即，

因为在上为增函数，且，

所以，即，即，

所以，

故答案为：##

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）

【答案】（1）3    （2）1

【解析】

【分析】（1）由指数的运算法则化简求解

（2）由对数的运算法则化简求解

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 已知二次函数的最小值为3，且.

（1）求的解析式；

（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意设，代求出参数即可得出函数解析式；

（2）原不等式等价于恒成立，将二次函数函数配成顶点坐标式求出最小值即可得出其范围.

【详解】解：（1）因为二次函数中，所以对称轴为

又二次函数的最小值为3，故可设

所以

所以

（2）的图像恒在直线的上方

等价于即恒成立

因为

所以，即实数的取值范围.

【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

19. 已知集合，函数的定义域为．

（1）若求集合；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按与的大小分类讨论求解.

【详解】（Ⅰ）由，得，

故集合；

（Ⅱ）由题可知，

①若，即时，，

又因为，所以，无解；

②若时，显然不合题意；

③若，即时，，

又因为，所以，解得．

综上所述，．

【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.

20. 已知函数的定义域是.

（1）求实数的取值范围;

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.

【详解】（1）因为函数的定义域是，

所以恒成立，

则，解得，的取值范围为.

（2），即，

因为，所以，即，解得，

故不等式的解集为.

21. 已知函数且，

（1）求实数的值；

（2）若函数有零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由即可得的值；

（2）令可得有实根，当时显然不成立，所以有实根，由，可得，即可求解.

【详解】（1）由题意可得，可得；

（2）由可得，

因为函数有零点，所以有实根，

所以即有实根，

当时显然不成立，

所以有实根，

因为，所以，即，

可得或，

所以实数的取值范围为.

22. 已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）[方法一]：导数法

显然，因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

[方法二]【最优解】：换元加导数法

  ．

因为为偶函数，不妨设，，

令，则．

令，则面积为，只需求出最小值．

．

因为，所以令，得．

随着a的变化，的变化情况如下表：

所以．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法三]：多元均值不等式法

同方法二，只需求出的最小值．

令，

当且仅当，即时取等号．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法四]：两次使用基本不等式法

同方法一得到

下同方法一.

【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.