2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10第2课时利用导数研究函数的极值与最值学案理含解析北师大版

第二课时　利用导数研究函数的极值与最值

授课提示：对应学生用书第49页

题型一　导数与函数的极值 

考法(一)　知图判断函数极值

[例1]　函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

[解析]　导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．

[答案]　C

知图判断函数的极值的情况：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．

考法(二)　求函数的极值

[例2]　(2021·兰州模拟)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R.

(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；

(2)求函数y＝f(x)的极值点．

[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x3－x2＋x，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．

(2)因为f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)·[x－(a＋2)]，

①当a＝－1或a＝2时，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点．

②当a＜－1或a＞2时，a2＞a＋2，可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)．

③当－1＜a＜2时，a2＜a＋2，可得当x∈(－∞，a2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)．

利用导数研究函数极值问题的一般流程

考法(三)　已知函数的极值求参数

[例3]　(2021·洛阳模拟)若函数f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－e2，－e)　　　 B.

C.  D．(－∞，－e－1)

[解析]　由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－(m＋1)＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g(x)＝，则g′(x)＝，所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其大致图像如图所示，要使m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m＋1＜g(1)，即m＋1＜－e，即m＜－e－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－e－1)．

[答案]　D

已知函数极值点或极值求参数的两个关键点

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

[题组突破]

1．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　)

A．2　　　　　　　 B．－

C．3＋ln 2  D．－2＋2ln 2

解析：由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，因为f(x)在x＝2处取得极小值，所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，

所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，

所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.

答案：B

2．已知函数f(x)＝ln x.

(1)求函数f(x)的图像过点P(0，－1)的切线方程；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．

解析：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1.把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，所以x0＝1，所以过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.

(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋，所以g′(x)＝－m－＝＝－，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0＜m＜，即实数m的取值范围为.

题型二　利用导数研究函数的最值 

[例]　已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点分别为－3和0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．

[解析]　(1)f′(x)＝

＝

令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，

因为ex＞0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a＞0，所以－3＜x＜0时．g(x)＞0，即f′(x)＞0；当x＜－3，或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．

(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有

解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.

因为f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．

所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，所以f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．

而f(－5)＝＝5e5＞5，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.

1.函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得，上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值．如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点，则该点也是最值点．

2．注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题．

[对点训练]

已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.

(1)若函数g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a的最小值；

(2)若a＞0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的取值范围．

解析：(1)g(x)＝ln x－(a＋2)x＋1，由题意得a＋2≥恒成立．设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝＝，所以当0＜x＜1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x＞1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，因此h(x)max＝h(1)＝1，所以a＋2≥1，可得a≥－1，所以实数a的最小值为－1.

(2)f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝(x＞0，a＞0)，由f′(x)＝0，得x＝或x＝.

①当a≥1时，0＜≤1，因为x∈[1，e]，所以f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(1)＝－2，符合题意；

②当＜a＜1时，1＜＜e，因为x∈[1，e]，所以当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增，f(x)min＝f＜f(1)＝－2，不合题意，舍去；

③当0＜a≤时，≥e，因为x∈[1，e]，所以f(x)单调递减，f(x)min＝f(e)＜f(1)＝－2，不合题意，舍去．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

　利用导数研究函数最值中的核心素养

数学建模——利用导数研究生活中优化问题的核心素养

利用导数研究生活中的优化问题，主要是建立数学模型，利用导数求最值．

[例]　 (2021·南通模拟)如图所示，现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角)，然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱．

(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；

(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值．

[解析]　(1)设A1D＝x，则AD＝x，A1B1＝10－2x.

因为＝＝3，

所以x＝(cm)．

故该三棱柱的高为 cm.

(2)因为A1B1＝10－2x＞0，

所以0＜x＜.

三棱柱的体积V(x)＝(10－2x)2××x＝(3x3－10x2＋25x)，

所以V′(x)＝(9x2－20x＋25)＝(3x－5)(x－5)．

因为当0＜x＜时，V′(x)＞0，V(x)单调递增，

当＜x＜时，V′(x)＜0，V(x)单调递减，

所以当x＝时，V(x)max＝(cm3)．

故该三棱柱的体积的最大值为 cm3.

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0处的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)回归实际问题作答．

2．如果函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．

[对点训练]

国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图所示，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计)，将隔离出的△BEF作为健身场所．则△BEF的面积S的最大值为________(单位：km2)．

解析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得C(2，4)．设边缘线AC所在的抛物线为y＝ax2，把C(2，4)代入得a＝1.所以抛物线为y＝x2.

设点P(t，t2)，t∈(0，2]．因为y′＝2x，

所以过点P的切线EF的方程为y＝2tx－t2，

令y＝0，得E.

令x＝2得F(2，4t－t2)，

所以△BEF的面积为

S＝(4t－t2)

＝(t3－8t2＋16t)，t∈(0，2]，

而S′＝(3t2－16t＋16)

＝(t－4)，

由S′＞0，得t∈，

由S′＜0，得t∈.

所以S在上是增函数，在上是减函数，所以S在t＝时有最大值.

答案：