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    2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10第2课时利用导数研究函数的极值与最值学案理含解析北师大版

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    这是一份2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10第2课时利用导数研究函数的极值与最值学案理含解析北师大版,共8页。

    第二课时 利用导数研究函数的极值与最值

    授课提示:对应学生用书第49

    题型一 导数与函数的极值 

      函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,为中、高档题.常见的命题角度有:(1)知图判断函数极值;(2)已知函数求极值;(3)已知函数极值情况求参数值(范围).

    考法() 知图判断函数极值

    [1] 函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)(  )

    A.无极大值点、有四个极小值点

    B.有三个极大值点、一个极小值点

    C.有两个极大值点、两个极小值点

    D.有四个极大值点、无极小值点

    [解析] 导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.

    [答案] C

    知图判断函数的极值的情况:先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号,最后判断是极大值点还是极小值点.

    考法() 求函数的极值

    [2] (2021·兰州模拟)已知函数f(x)x3(a2a2)x2a2(a2)xaR.

    (1)a=-1时,求函数yf(x)的单调区间;

    (2)求函数yf(x)的极值点.

    [解析] (1)a=-1时,f(x)x3x2xf′(x)x22x1(x1)20,所以函数f(x)R上的增函数,单调递增区间为(,+),无单调递减区间.

    (2)因为f′(x)x2(a2a2)xa2(a2)(xa2)·[x(a2)]

    a=-1a2时,a2a2f′(x)0恒成立,函数f(x)为增函数,无极值点.

    a<-1a2时,a2a2,可得当x(a2)时,f′(x)0,函数f(x)为增函数;当x(a2a2)时,f′(x)0,函数f(x)为减函数;当x(a2,+)时,f′(x)0,函数f(x)为增函数.所以当xa2时,函数f(x)有极大值f(a2);当xa2时,函数f(x)有极小值f(a2)

    当-1a2时,a2a2,可得当x(a2)时,f′(x)0,函数f(x)为增函数;当x(a2a2)时,f′(x)0,函数f(x)为减函数;当x(a2,+)时,f′(x)0,函数f(x)为增函数.所以当xa2时,函数f(x)有极小值f(a2);当xa2时,函数f(x)有极大值f(a2)

    利用导数研究函数极值问题的一般流程

    考法() 已知函数的极值求参数

    [3] (2021·洛阳模拟)若函数f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1恰有两个极值点,则实数m的取值范围为(  )

    A(e2,-e)    B.

    C.  D(,-e1)

    [解析] 由题意,函数f(x)的定义域为(0,+)f′(x)ex(m1)0(0,+)上有两个不相等的实数根,所以m1(0,+)上有两个不相等的实数根,令g(x),则g′(x),所以函数g(x)上单调递增,在(1,+)上单调递减,其大致图像如图所示,要使m1(0,+)上有两个不相等的实数根,则m1g(1),即m1<-e,即m<-e1,所以实数m的取值范围是(,-e1)

    [答案] D

    已知函数极值点或极值求参数的两个关键点

    (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

    (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

    [题组突破]

    1.已知函数f(x)2ln xax23xx2处取得极小值,则f(x)的极大值为(  )

    A2        B

    C3ln 2  D.-22ln 2

    解析:由题意得,f′(x)2ax3,因为f(x)x2处取得极小值,所以f′(2)4a20,解得a

    所以f(x)2ln xx23xf′(x)x3

    所以f(x)(01)(2,+)单调递增,在(12)上单调递减,

    所以f(x)的极大值为f(1)3=-.

    答案:B

    2.已知函数f(x)ln x.

    (1)求函数f(x)的图像过点P(0,-1)的切线方程;

    (2)若函数g(x)f(x)mx存在两个极值点x1x2,求实数m的取值范围.

    解析:(1)由题意得,函数f(x)定义域为(0,+)f′(x).设切点坐标为(x0ln x0),则切线方程为yxln x01.把点P(0,-1)代入切线方程,得ln x00,所以x01,所以过点P(0,-1)的切线方程为yx1.

    (2)因为g(x)f(x)mxln xmx,所以g′(x)m=-,令h(x)mx2xm,要使g(x)存在两个极值点x1x2,则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1x2.故只需满足即可,解得0m,即实数m的取值范围为.

    题型二 利用导数研究函数的最值 

    [] 已知函数f(x)(a0)的导函数yf′(x)的两个零点分别为-30.

    (1)f(x)的单调区间;

    (2)f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[5,+)上的最大值.

    [解析] (1)f′(x)

    g(x)=-ax2(2ab)xbc

    因为ex0,所以yf′(x)的零点就是g(x)=-ax2(2ab)xbc的零点,且f′(x)g(x)符号相同.又因为a0,所以-3x0时.g(x)0,即f′(x)0;当x<-3,或x0时,g(x)0,即f′(x)0,所以f(x)的单调增区间是(30),单调减区间是(,-3)(0,+)

    (2)(1)知,x=-3f(x)的极小值点,所以有

    解得a1b5c5,所以f(x).

    因为f(x)的单调增区间是(30),单调减区间是(,-3)(0,+)

    所以f(0)5为函数f(x)的极大值,所以f(x)在区间[5,+)上的最大值取f(5)f(0)中的最大者.

    f(5)5e55,所以函数f(x)在区间[5,+)上的最大值是5e5.

    1.函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.

    2.注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.

    [对点训练]

    已知定义在正实数集上的函数f(x)ax2(a2)xln x.

    (1)若函数g(x)f(x)ax21,在其定义域上g(x)0恒成立,求实数a的最小值;

    (2)a0时,f(x)在区间[1e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.

    解析:(1)g(x)ln x(a2)x1,由题意得a2恒成立.设h(x)(x0),则h′(x),所以当0x1时,h′(x)0h(x)单调递增,当x1时,h′(x)0h(x)单调递减,因此h(x)maxh(1)1,所以a21,可得a1,所以实数a的最小值为-1.

    (2)f′(x)2ax(a2)(x0a0),由f′(x)0,得xx.

    a1时,01,因为x[1e],所以f′(x)0f(x)单调递增,f(x)minf(1)=-2,符合题意;

    a1时,1e,因为x[1e],所以当x时,f(x)单调递减,当x时,f(x)单调递增,f(x)minff(1)=-2,不合题意,舍去;

    0a时,e,因为x[1e],所以f(x)单调递减,f(x)minf(e)f(1)=-2,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是[1,+)

     利用导数研究函数最值中的核心素养

    数学建模——利用导数研究生活中优化问题的核心素养

    利用导数研究生活中的优化问题,主要是建立数学模型,利用导数求最值.

    []  (2021·南通模拟)如图所示,现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC,在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1BD1B1ECE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角),然后把三个矩形A1B1D1DB1C1E1EA1C1FF1折起,构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱.

    (1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3,求该三棱柱的高;

    (2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值.

    [解析] (1)A1Dx,则ADxA1B1102x.

    因为3

    所以x(cm)

    故该三棱柱的高为 cm.

    (2)因为A1B1102x0

    所以0x.

    三棱柱的体积V(x)(102x)2××x(3x310x225x)

    所以V′(x)(9x220x25)(3x5)(x5)

    因为当0x时,V′(x)0V(x)单调递增,

    x时,V′(x)0V(x)单调递减,

    所以当x时,V(x)max(cm3)

    故该三棱柱的体积的最大值为 cm3.

    1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤:

    (1)设自变量、因变量,建立函数关系式yf(x),并确定其定义域;

    (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)0

    (3)比较函数在区间端点和f′(x)0处的点的函数值的大小,最大()者为最大()值;

    (4)回归实际问题作答.

    2.如果函数在定义域内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.

    [对点训练]

    国务院批准从2009年起,将每年88日设置为全民健身日,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图所示,有一个长方形地块ABCD,边AB2 kmAD4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EFEF分别在边ABBC(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计),将隔离出的BEF作为健身场所.则BEF的面积S的最大值为________(单位:km2)

    解析:A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,可得C(24).设边缘线AC所在的抛物线为yax2,把C(24)代入得a1.所以抛物线为yx2.

    设点P(tt2)t(02].因为y2x

    所以过点P的切线EF的方程为y2txt2

    y0,得E.

    x2F(24tt2)

    所以BEF的面积为

    S(4tt2)

    (t38t216t)t(02]

    S(3t216t16)

    (t4)

    S0,得t

    S0,得t.

    所以S上是增函数,在上是减函数,所以St时有最大值.

    答案:

     

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