2023重庆市南开中学高三上学期9月第一次质量检测试题数学含解析

重庆南开中学高2023届高三九月考

数学考试

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知复数写出其共轭复数，利用复数除法化简.

【详解】由题设，故.

故选：C

2. 命题的否定是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.

【详解】命题的否定是.

故选；C.

3. 设集合，且，则a的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简集合，再由并集的定义求解即可

【详解】因为或，，，

所以，

故选：D

4. 若曲线在点处的切线方程为，则（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a.

【详解】由题设，则，又，

所以，故.

故选：B

5. 橙子辅导中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（）

A B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由分层抽样的定义结合平均数的计算公式即可得出答案.

【详解】设橙子辅导中学的总人数为，

由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：，

所以估计该高中学生平均身高为：.

故选：A.

6. 若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式判断出，再根据函数单调性判断出，从而求出答案.

【详解】由基本不等式得：，所以，

因为单调递增，

所以，

所以

故选：B.

7. 圆上一点发出的光线经轴反射后经过点，则光线从点到点的最短路程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设点关于轴的对称点为，求出圆心的坐标以及圆的半径，作出图形，分析可知光线从点到点的最短路程，即可得解.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径长为，

如下图所示：

设点关于轴的对称点为，设反射光线交轴于点，，

则，所以，光线从点到点的路程为，

光线从点到点的最短路程为.

故选：B.

8. 公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（）

A. 图①，长为､宽为的矩形的两端去掉两个弦长为､半径为的弓形

B. 图②，长为､宽为的矩形的两端补上两个弦长为､半径为的弓形

C. 图③，长为､宽为的矩形的两端去掉两个底边长为､腰长为的等腰三角形

D. 图④，长为､宽为的矩形的两端补上两个底边长为､腰长为的等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据在轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设，与双曲线相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.

【详解】由得：，

则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为；

将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，

对于③，双曲线实轴长为，③中轴的最短距离为，不合题意，③错误；

对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误；

对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合；

当与①中图形相交时，两交点之间距离为，

此时圆环面积为，不合题意，①错误

对于②，在轴的最长距离为，矩形高为，与几何体吻合；

当与②中图形相交时，两交点之间距离为，

此时圆面积为，与圆环面积相同，满足题意，②正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知角的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题设可得，，结合三角函数的性质及各选项描述即可判断正误.

【详解】由题设，，故，，

所以在第一象限右上部分或第三象限左下部分（不含边界），

故符号不定且与大小不定，而，.

所以A、C错误，B、D正确.

故选：BD

10. 已知数列满足：函数的图象经过点，设数列的前n项和为，则下列命题中的真命题是（）

A. 若是等差数列，则是等比数列

B. 若是等比数列，则是等差数列

C. 若是单增数列，则是单增数列

D. 若是单增数列，则是单增数列

【答案】AB

【解析】

【分析】根据等差数列，等比数列的定义可判断AB，利用特值可判断CD.

【详解】若为等差数列，则有，则有，

故为等比数列，所以A正确；

若为等比数列，因为，所以，

则有，则有，

则有，故为等差数列，所以B正确；

设，则有，可知单增，但不单增，故C错误；

设，则有，则为单增数列，但，所以是单增数列不成立，故D错误.

故选：AB.

11. 在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得.

【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

所以，，

设为平面的法向量，

则有：，令，可得，

则点到平面的距离为，

因为，所以距离的范围是.

故选：CD.

12. 已知，则（）

A.  B.  C.  D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其单调性，再结合特例法进行判断即可.

【详解】因为，所以，

设函数，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以A选项错误；

因为，所以由，

设函数，，

当时，，函数单调递增，所以B选项正确；

因为，

设函数，所以，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，即，

因为，所以，

因此，所以C选项正确.

令，则有，又令，所以，

显然不成立，所以D选项错误，

故选：BC

【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则___________.

【答案】##0.28

【解析】

【分析】利用倍角余弦公式求得，由诱导公式，即可求值.

【详解】，

而.

故答案为：

14. 已知抛物线的焦点为 ， 为抛物线上第一象限内一点，直线与轴交于点，且，则直线的斜率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可设、、的坐标，运用可解出，利用抛物线解析式可得，由斜率公式解出即可.

【详解】由题意可设，，，

，，

为抛物线上第一象限内一点

直线的斜率为；

直线的斜率为：

故答案为：.

15. 将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同分组方法共有___________种.

【答案】25

【解析】

【分析】根据题意分两类：一是一组2人，一组4人，另一个是两组均为3人，求出各类的方法数，再利用分类加法原理求解即可.

【详解】由题知，6人分为两组共有两种分法：

（1）一组2人，一组4人：这种分法数为种；

（2）两组均为3人：这种分法数为种，

所以，由分类加法原理可得共有25种分法.

故答案为：25

16. 已知平面向量满足，则在方向上的投影的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】法一：由题意可知A，B在以原点为圆心，半径分别为1，2的圆上运动，所以，当与反向时，投影最小，即可求出答案.

法二：由题意，求出，由向量投影的定义表示出在方向上的投影，即可求出答案.

【详解】法一：设，因为平面向量满足

则有A，B在以原点为圆心，半径分别为1，2的圆上运动，则，

当与反向时，投影最小，可设，所以，

投影为.

法二：设，则，

则在方向上的投影为，

所以投影最小值为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前n项和，为是公差为1的等差数列，且成等比数列.

（1）求；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】（1）利用题意假设即，则能求出，结合成等比数列即可得到答案；

（2）利用裂项相消法即可求解

【小问1详解】

因为为是公差为1的等差数列，所以设，则有，

所以，

由成等比数列可得即，

解得，故；

【小问2详解】

，

设数列的前n项和为，

所以

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，，且，

（1）求b；

（2）求的面积.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据求出，得到的关系式，再用余弦定理求出；

（2）先求出的面积，进而利用，求出的面积.

【小问1详解】

因为，所以，

因为在中，，

所以，

因为，则

在中：，所以；

【小问2详解】

因为，，

所以.

19. 冬奥会在我国圆满结束，越来越多的人们喜欢冰雪运动，公众号山城学术圈为了研究喜爱滑雪是否与性别有关，对橙子辅导的200位居民进行问卷调查，根据统计结果得到如下列联表：

已知从接受问卷调查的200位橙子辅导社区居民中任选一人，选到喜欢滑雪的居民的概率为0.65.

（1）是否有的把握认为人们喜爱滑雪与性别有关？

（2）现采用分层抽样的方法从接受问卷调查且不喜爱滑雪的居民中随机抽取7人认定为该滑雪馆的免费会员，若从这7名免费会员中随机抽取3人进行滑雪培训，记抽到的3人中有位女士，求的分布列与数学期望.

附：，其中

【答案】（1）没有的把握认为二者有关

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）依题意完善列联表，再计算出卡方，即可判断；

（2）首先由分层抽样求出男、女的人数，则的可能取值分别为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【小问1详解】

解：由题可知，喜欢滑雪的人有，

所以列联表如下：

所以，所以没有的把握认为二者有关；

【小问2详解】

解：由题知：抽取的7人中男性有人，

女性有人，所以的所有可能取值分别为，，，，

所以，，

，，

所以的分布列为：

故的数学期望.

20. 如图，在三棱柱中，，D是棱的中点.

（1）证明：；

（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到平面，从而证明；

（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出，方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值.

【小问1详解】

取BC中点O，连接AO，,,

因为,所以,

因为，，所以，

所以，所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以；

【小问2详解】

连接，则平面即为平面，

由（1）知平面，因为平面ABC，且平面，

故平面平面ABC，平面平面，

过O作于M，则平面ABC，过作于H，则平面，

因为知，

在中：，

所以，

所以，

所以，

法一：设，则，

在中，

所以，

又，所以点M为线段的中点，

以O为原点，分别以分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

，

，

设面的法向量为，

则有，

两式相减得：，所以，

令，可得：，

所以，

设面的法向量为，则有，

解得：，令，解得：

所以，

设锐二面角为，则有.

法二：过H做，连接，面，

，则面，

，则即为所求二面角.

在中，，则，

在中，，

由可得：，

，则，

.

21. 已知椭圆的离心率为，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为时，直线l恰好经过D点.

（1）求椭圆C方程：

（2）当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）由离心率可得，又因为即可求出，即可得出椭圆C的方程；

（2）设直线为，联立直线和椭圆的方程得到关于的一元二次方程，可表示出的坐标，即可表示出直线DM的斜率解得，因为l不过D点，则，再结合即可求出k的取值范围.

【小问1详解】

由题意知，离心率，所以，

设，两式相减得，所以；

所以直线为，即，所以，椭圆方程为；

【小问2详解】

设直线为，由得，

则，，，

所以，解得，，

因为l不过D点，则，即

则，化简得，

解得，，

所以或.

22. 设函数.

（1）若恒成立，求a的值；

（2）当且时，证明：.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1），用导数法研究即可；

（2）由（1）可知恒成立，令，所以，再用累加法求解即可证明

【小问1详解】

令，则有，，

若，则存在，使得在上单调递增，所以，矛盾；

若，则存在，使得在上单调递减，所以，矛盾；

若即，，在上单减，在上单增，

故，符合；

综上，

【小问2详解】

由（1）知，当时，恒成立，即恒成立，当且仅当时取等.

令，所以，

，两边累加

即

即证

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔；.