山东省部分学校2023届高三9月第一次联合学情检测数学试卷

山东省部分学校2023届高三9月第一次联合学情检测

数学试题

一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

3. 已知向量、为单位向量，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

6. 已知等差数列的前n项和为，则n的值为（    ）

A. 8 B. 11 C. 13 D. 17

【答案】D

7. 已知变量的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）进行拟合，设，其变换后得到一组数据如下：

由上表可得线性回归方程，则当时，预测的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

二､多项选择题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，共20分）

9. 下列叙述正确的是（    ）

A. 命题“”的否定是“”

B. 在空间中，已知直线，，满足，，则

C. 的展开式中的系数为

D. 已知定义在上的函数是以为周期的奇函数，则方程在上至少有个实数根

【答案】ACD

10. 函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，则方程的解为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

11. （多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（    ）

A.

B. 点到平面的距离为定值

C. 三棱锥体积是正方体体积的

D. 异面直线，所成的角为定值

【答案】ABC

12. 已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（    ）

A.  B. 直线与C相交

C. 若，则C的渐近线方程为 D. 若，则C的离心率为

【答案】AD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，且，则的最小值为___________.

【答案】

14. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点且，则______．

【答案】

15. 设过点的直线l的斜率为k，若圆上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值为___________.

【答案】1或7

16. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是___________.

【答案】

四､解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知分别为的内角所对的边，且

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】(1)

在中，由题意及正弦定理得，

整理得，

由余弦定理得，

因为，

所以；

(2)

方法一：由（1）知，，又，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以；

方法二：由（1）知，，又，

所以由正弦定理，知，

所以，

所以，

又因为，

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.

18. 设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）求数列的前n项和.

【答案】(1)

解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，

所以，所以，

当时，

当时，所以，当时也成立，

所以.

(2)

解：由（1）可知，

记数列的前项和为，

所以，

所以，

所以

，

所以.

19. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

【答案】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式，

可得

．

（2）由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100，即样本方差，

所以标准差，所以随机变量，

可得该厂生产的产品为正品的概率：

 .

（3）由题意，随机变量所有可能为，

则，，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的期望．

20. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

连接FG.

在△中，F、G分别为的中点，所以.

又因为平面, 平面，所以平面.

(2)

因为平面,平面，所以.

又，所以.

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

则,.,.

设平面SCD的一个法向量为.

则，即，

令,得.

所以平面SCD的一个法向量为.

又平面ESD的一个法向量为.

所以

由图形可知,二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

(3)

假设存在点H,设,则.

由（2）知,平面的一个法向量为.则，

即,所以.

故存在满足题意的点H,此时.

21. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.

【答案】(1)

解：因为，所以，即，所以，所以

又，，，

所以，即，所以，

所以，

所以椭圆方程为.

(2)

解：由（1）知，，所以，即，

当直线的斜率为时，此时，不合题意，

当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，

联立，得，

所以，，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得或，

当时，直线过点，不符合题意，

所以直线的方程为．

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值．

【答案】(1)

∵，

（Ⅰ）当时，在上单调递增，

（Ⅱ）当时，令，则，

令，则，

∴在上单调递增， 上单调递减，

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减

(2)

∵恒成立，∴恒成立，

即恒成立，

令，其中，

，

∵，∴，

令，即，解得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

∴当时，函数取得极大值，也是最大值，

且，

∵恒成立，

即恒成立，

即，可得恒成立．

设，∴，可设，则，

∵，∴上单调递增，

∴当时，函数取得最大值，且，

∴，即的最小值为