黑龙江省海林市朝鲜族中学2022届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2021-2022学年度第一学期9年级数学期中试题

一．填空题（每小题3分 共30分）         

1. 抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____．

2. 若是关于的一元二次方程，则的值为______．

3. 已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab值为_____．

4. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．

5. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为_____．

6. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是________．

7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______

8. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC位置，点B恰好在边DE上，则∠θ=_____度．

9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列四个代数式：①，②，③；④中，其值小于的有___________（填序号）.

10. 边长为4的正方形的中心与坐标原点O重合，ABx轴，将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转90°，当n=2022时顶点A的坐标是______

二．选择题（每小题3分 共30分）

11. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（      ）

A. 3，-8，-10 B. 3，-8，10 C. 3，8，-10 D. -3，-8，-10

12. 用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（     ）

A. （x+2）2=9 B. （x-2）2=9 C. （x+1）2=6 D. （x-1）2=6

13.  在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）

A.  B.  C.  D.

14. 将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（　　）

A. （1，3） B. （2，﹣1） C. （0，﹣1） D. （0，1）

15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是(　　)

A. －1＜x＜2 B. x＞2 C. x＜－1 D. x＜－1或x＞2

16. 如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. 20cm2 B. 15cm2 C. 10cm2 D. 25cm2

17. 点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A. y1＜y2＜y3 B. y1＝y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y3＜y2

18. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（  ）

A. 1000（1+x）2＝3990

B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990

C. 1000（1+2x）＝3990

D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990

19. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（　　）

A  B.  C. 或 D. 或

20. 如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图像大致可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

三．解答题（共60分）

21. 解方程：

（1）x2﹣x﹣6＝0

（2）（x+2）2＝2x（x+2）

22. 已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0

（1）若方程有一根为1，求a的值；

（2）若a=1，求方程的两根．

23. 如图，三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4);

(1)请画出将绕A点逆时针旋转90度得到的图形△AB1C1；

(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；

(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图上标出点P，并直接写出点P的坐标______________

24. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．若水面下降了2.5m，水面的宽度增加多少？

25. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．

（1）请写出与之间的函数表达式；

（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值多少？

26. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

（1）①∠ACE的度数是      ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是         ．

拓展探究：

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；

参考答案

1. 【答案】（2，5）．
2. 【答案】1
3. 【答案】
4. 【答案】8
5. 【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20．
6. 【答案】且
7. 【答案】4
8. 【答案】50．
9. 【答案】②④
10. 【答案】（2，-2）
11. 【答案】A
12. 【答案】D
13. 【答案】B
14. 【答案】B
15. 【答案】D
16. 【答案】A
17. 【答案】C
18. 【答案】B
19. 【答案】A
20. 【答案】C
21. 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣2，x2＝2．

【详解】解：（1）（x﹣3）（x+2）＝0，

x﹣3＝0或x+2＝0，

所以x1＝3，x2＝﹣2；

（2）（x+2）2﹣2x（x+2）＝0，

（x+2）（x+2﹣2x）＝0，

x+2＝0或x+2﹣2x＝0，

所以x1＝﹣2，x2＝2．

22. 【答案】(1)-1；（2）x1=，x2=．

【详解】解：（1）将x=1代入方程得：

1+2+a﹣2=0，

解得a=-1；

（2）将a=1代入方程得x2+2x﹣1=0，

因为a=1，b=2，c=﹣1，

所以x=．

即x1=，x2=．

23. 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）图见解析，P(2,0)

【详解】解：(1) △AB1C1如图所示：

（2）如图所示：

（3）点P位置如图所示：

根据网格可知，P点坐标为：(2，0).

24. 【答案】2m

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，

∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，

当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：

﹣2.5=﹣0.5x2+2，

解得：x=±3，

所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了2米．

25. 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元

【详解】（1）根据题意得，；

（2）根据题意得，，

解得：，，

∵每件利润不能超过60元，

∴，

答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

（3）根据题意得，，

∵，

∴当时，随增大而增大，

∴当时，，

答：当为20时最大，最大值是2400元．

26. 【答案】（1）y＝x2＋x−3   

（2）13.5    （3）存在P1（−3，−3），P2（，3），P3（,3）

小问1详解】

解：（1）∵B的坐标为（1，0），

∴OB＝1．

∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，

∴C（0，−3）．

∵将B（1，0），C（0，−3）代入抛物线的解析式得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x−3．

【小问2详解】

解：如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．

∵x＝−＝，B（1，0），

∴A（−4，0）．

∴AB＝5．

∴S△ABC＝AB•OC＝×5×3＝7.5．

设AC的解析式为y＝kx＋b．

∵将A（−4，0）、C（0，−3）代入得：

，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝−x−3．

设D（a，a2＋a−3），则E（a，−a−3）．

∵DE＝−a−3−（a2＋a−3）＝−（a＋2）2＋3，

∴当a＝−2时，DE有最大值，最大值为3．

∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×4＝6．

∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=7.5+6=13.5，

∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．

【小问3详解】

解：存在．

①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，−3），令x2＋x−3＝−3，

∴x1＝0，x2＝−3．

∴P1（−3，−3）．

②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．

∵C（0，−3），

∴P2，P3的纵坐标均为3．

令y＝3得：x2＋x−3＝3，解得；x1＝，x2＝．

∴P2（，3），P3（,3）．

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（−3，−3），P2（，3），P3（,3）．

27. 【答案】（1）60°，AC＝DC＋EC；   

（2）∠ACE＝45°，

【小问1详解】

解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，

∴AC＝BC＝EC＋CD；

故答案为：60°，AC＝DC＋EC；

【小问2详解】

∠ACE＝45°，，

理由如下：

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，

∴∠DCE＝90°，

∴，

在Rt△ADE中，，又AD＝AE，

∴．