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专题04 轴对称问题的三种考法-【常考压轴题】
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这是一份专题04 轴对称问题的三种考法-【常考压轴题】，文件包含专题04轴对称问题的三种考法教师版docx、专题04轴对称问题的三种考法学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专题04 轴对称问题的三种考法
类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）
例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.
【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【详解】解：（1）由已知条件得： AC=12，OB=6，∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，
∵，OA=6，∴OM+ON=3
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．
（1）如图①，若点为的中点，求的长；
（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；
（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3
【详解】解：（1），,，
又∵点为的中点，∴；
（2），，∴,是等腰直角三角形，，
过点作轴于点，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，∵,；
（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，
过点作轴于点，并与射线交于点，连接,
则BF垂直平分OD，∴,,∴,
当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度，
∵,∴,∴为AB的中点，
∵,∴,∴,∴．故的最小值为．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值为2．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．
（1）如图①，若点为的中点，求的长；
（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；
（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3
【详解】解：（1），,，
又∵点为的中点，∴；
（2），，∴,
是等腰直角三角形，，
过点作轴于点，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，
∵,；
（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，
过点作轴于点，并与射线交于点，
连接,
则BF垂直平分OD，∴,,
∴,
当D，N，M在一条直线上时，
m最小，最小值为DN的长度，∵,∴,∴为AB的中点，
∵,∴,∴,∴．
故的最小值为．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例．已知点在内．
（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.
①若，则______；
②若，连接，请说明当为多少度时，；
（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
【答案】（1）①100°；②当时，；（2）．
【详解】（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案为：100°；
②，，、、三点其线，，
，当时，；
（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，
连接，、、，交、于点、，则，，
此时周长的最小值等于的长.
由轴对称性质可得，，，，
，，
由轴对称性质可得，．
【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．
【详解】（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，
∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【变式训练2】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，
∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
【答案】（1）5；（2）；（3）13.
【详解】解：（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形
，
在中，由勾股定理得 ，即 ，所以的最小值为5.
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，， ，，
在中， ，，
由勾股定理得，，
所以的最小值为.
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.
由对称可得OA垂直平分，OB垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为13.
【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)45°
【解析】(1)解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE = 22.5°，∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，∴∠ADC = ∠CDB = 90°，∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，∴DA= DC，∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
(2)证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，
∵CE=CP，∴BH=CP，∴ ；
(3)解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：
连接CE，∵，且，∴为平行四边形，可得，
小红走的路线是：，
小明走的路线是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路线比小红的要长，
即：小红设计的路径更短一些；
（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，
由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，
所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；
∵小船早上点出发，第二天早上点发现，
∴小船行驶了小时；
①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，
即：两桥之间的距离为千米；
②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，或；
即：两桥之间的距离为千米或千米；
综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【变式训练1】（1）如图1，，是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得最小；
（2）如图2，已知，P是内一点，．请在上找一点，上找一点，使得的周长最小，画出图形并求出这个最小值．
【答案】（1）画图见详解；（2）画图见详解，
【详解】解：（1）过点作，并在上截取，连接交于点，由“两点之间线段最短”可知此时最小．
故点即为所求，如图：
（2）作出点关于、的对称点、，连接、．此时的周长最小，如图：
根据对称性可得出：，，
∵
∴
∴
∴的周长最小值为．
【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想
B．分类讨论思想
C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4
【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．
（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝4cm，
∴PB+PD的最小值为4cm．
故答案为4．
专题04 轴对称问题的三种考法
类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）
例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.
【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【详解】解：（1）由已知条件得： AC=12，OB=6，∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，
∵，OA=6，∴OM+ON=3
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．
（1）如图①，若点为的中点，求的长；
（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；
（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3
【详解】解：（1），,，
又∵点为的中点，∴；
（2），，∴,是等腰直角三角形，，
过点作轴于点，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，∵,；
（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，
过点作轴于点，并与射线交于点，连接,
则BF垂直平分OD，∴,,∴,
当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度，
∵,∴,∴为AB的中点，
∵,∴,∴,∴．故的最小值为．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值为2．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．
（1）如图①，若点为的中点，求的长；
（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；
（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3
【详解】解：（1），,，
又∵点为的中点，∴；
（2），，∴,
是等腰直角三角形，，
过点作轴于点，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，
∵,；
（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，
过点作轴于点，并与射线交于点，
连接,
则BF垂直平分OD，∴,,
∴,
当D，N，M在一条直线上时，
m最小，最小值为DN的长度，∵,∴,∴为AB的中点，
∵,∴,∴,∴．
故的最小值为．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例．已知点在内．
（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.
①若，则______；
②若，连接，请说明当为多少度时，；
（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
【答案】（1）①100°；②当时，；（2）．
【详解】（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案为：100°；
②，，、、三点其线，，
，当时，；
（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，
连接，、、，交、于点、，则，，
此时周长的最小值等于的长.
由轴对称性质可得，，，，
，，
由轴对称性质可得，．
【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．
【详解】（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，
∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【变式训练2】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，
∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
【答案】（1）5；（2）；（3）13.
【详解】解：（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形
，
在中，由勾股定理得 ，即 ，所以的最小值为5.
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，， ，，
在中， ，，
由勾股定理得，，
所以的最小值为.
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.
由对称可得OA垂直平分，OB垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为13.
【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)45°
【解析】(1)解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE = 22.5°，∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，∴∠ADC = ∠CDB = 90°，∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，∴DA= DC，∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
(2)证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，
∵CE=CP，∴BH=CP，∴ ；
(3)解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：
连接CE，∵，且，∴为平行四边形，可得，
小红走的路线是：，
小明走的路线是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路线比小红的要长，
即：小红设计的路径更短一些；
（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，
由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，
所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；
∵小船早上点出发，第二天早上点发现，
∴小船行驶了小时；
①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，
即：两桥之间的距离为千米；
②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，或；
即：两桥之间的距离为千米或千米；
综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【变式训练1】（1）如图1，，是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得最小；
（2）如图2，已知，P是内一点，．请在上找一点，上找一点，使得的周长最小，画出图形并求出这个最小值．
【答案】（1）画图见详解；（2）画图见详解，
【详解】解：（1）过点作，并在上截取，连接交于点，由“两点之间线段最短”可知此时最小．
故点即为所求，如图：
（2）作出点关于、的对称点、，连接、．此时的周长最小，如图：
根据对称性可得出：，，
∵
∴
∴
∴的周长最小值为．
【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想
B．分类讨论思想
C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4
【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．
（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝4cm，
∴PB+PD的最小值为4cm．
故答案为4．
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