湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用授课课件ppt

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掌握利用相似三角形测量宽度的方法掌握利用相似三角形测量物高的方法
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗?
　　我们可以这样做： 如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使 (k为正整数)，测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离了.
1. 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常 常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两 间的距离 .2. 常见的测量方式： (1)构造“A”型相似，如图a. (2)构造“X”型相似，如图b.
如图，我们想要测量河两岸相对的两点 A，B 之间的距离(即河宽). 方案：先从B点出发向与AB成90°角的方向走 50 m 到 O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10 m 到C处， 在C处向右转 90°，沿 CD 方向再走 17 m 到D处，使得点 A，O， D在同一条直线上，那么点 A，B 之间的距离是多少?
解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.
解： ∵ AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO = ∠DCO=90°. 又 ∵∠AOB = ∠DOC， ∴△AOB ∽△DOC. ∵ BO=50 m，CO=10 m，CD=17 m， ∴ AB=85 m. ∴点 A，B 之间的距离为 85 m.
利用相似三角形测量高 度、宽度等的一般步骤： 1. 利用平行线、标杆等构 造相似三角形； 2. 测量与表示未知量的 线段相对应的边长以 及另外 任意一组对应 边的长度； 3. 画出示意图，利用相 似三角形的性质，列 出以上 包括未知量在内的四个量的比例式， 解出未知量； 4. 检验并得出答案 .
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　　)A．五丈　　B．四丈五尺　　C．一丈　　D．五尺
2．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m．请你帮她算一下，树高是(　　)A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m
观察下图中的建筑，想一想人们如何测量出它们的实际高度.
方法1 用关照的影子
某一时刻，身高1.6 m 的小明在阳光下的影长是 0.4 m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗 杆的高度是( ) A. 1.25 m B.10 m C. 20 m D. 8 m
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻太阳 光下物体的高度与影长成比例”求解 .
解： 设该旗杆的高度是x m，根据题意，得1.6∶0.4=x∶5， 解得 x=20，即该旗杆的高度是 20 m.
1. 测量原理： 测量不能到达顶部的物体的高度，在有 太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、 被测 物高及其影长构造相似三角形模型，利用“ 相似三 角形对应边成比例”的原理解决 .
2. 测量方法： 在同一时刻测量出太阳光下参照物和 被测物体的影长，再根据参照物的高度和“ 在同 一时刻太阳光下物体的高度 与影长成比例”的原理计算 出被测物体的高度 . (如图)
如图，小明同学用自制的直角三角板DEF测量树的高 度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平， 并且边DE与点B 在同一直线上 . 已知纸板的两条直角 边DE=40 cm， EF=20 cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=______m.
解题秘方：本题关键是找出相似的 三角形，然后根据对应 边的比相等列出方程求解.
解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D ，∴△ DEF∽△BCD.∴ ∵DE=40 cm=0.4 m， EF=20 cm=0.2 m ，CD=8 m, ∴∴BC= 4 m，∴ AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).
1. 测量原理：用标杆与被测物体平行构造相似三角形 .
2. 测量方法： (1) 测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度； (2) 让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使 观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好 在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端 的距离和距被测物体底端的距离；
(3) 根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似， 利用对应边成比例求出被测物体的高度 . (如图)
方法3 用镜子反射
如图a是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高 度的示意图，在点 P 处水平放一平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端 C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米， BP=3 米，PD=12米，求该古城墙 CD 的高度 .
解题秘方：由反射原理及AB⊥BD， CD ⊥BD，可得△ABP∽△CDP， 利用相似三角形的性质即可 求出CD的长 .
解：如图a，由题意可得∠ CPE= ∠ APE， 所以∠ CPD = ∠ APB. 因为 AB ⊥ BD，CD ⊥ BD，所以∠ ABP = ∠ CDP=90°，所以△ ABP ∽△ CDP，所以因为 AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米， 所以 ，所以 CD=8 米 . 答：该古城墙 CD 的高度为 8 米 .
1. 测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度 .
2. 测量方法： (1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子， 在镜子上做一个标记； (2)测出观测者眼睛到地面的高度；
(3) 观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体 顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时 测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及 到被测物体底端的距离； (4) 根据两角分别对应相等推导出两 个三角形 相似，利用对应边成比 例求出被测物体的高度 .(如图)
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m．　
2．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是(　　)A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m
3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置．已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m