人教B版高考数学一轮总复习第4章第1节任意角与弧度制及三角函数的概念学案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习第4章第1节任意角与弧度制及三角函数的概念学案，共10页。
课程标准命题解读1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．2．借助单位圆理解任意角三角函数的定义，能够利用定义推导出诱导公式．3．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.4．能画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．5．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．6．会推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．7．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题．考查内容：三角函数的定义、图像与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理．备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值．(2)重视对三角函数图像和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理．(3)加强正弦定理、余弦定理应用方面的训练．核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.第1节　任意角与弧度制及三角函数的概念一、教材概念·结论·性质重现1．角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.(2)公式①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad，＝.②弧长公式：l＝αr.③扇形面积公式：S扇形＝lr和S扇形＝αr2.说明：②③公式中的α必须为弧度制．有关角度与弧度的注意点角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)．一般地，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α；称为角α的正切，记作tan α.(2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos_α，sin_α)．(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)小于90°的角是锐角．( × )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( × )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )(4)三角形的内角必是第一、第二象限角．( × )2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)A．   B．  C．－ D．－D　解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos α＝＝＝－.故选D.3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B　解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．4．在与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．－　解析：2 020°＝＝12π－，所以与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－.5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．6π　解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.考点1　象限角及终边相同的角——基础性1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　)A．－是第二象限角B．是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边在～内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边在π＋～π＋内，结合选项知选C.3．设集合M＝，N＝，那么(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅B　解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.故选B.4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．一或三　解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(1)判断象限角的两种方法图像法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤①用终边相同的角的形式表示出角α的范围；②写出kα或的范围；③根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)因为α＝60°＝，所以l＝α·R＝×10＝(cm)．(2)由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为.(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.(方法二)S＝lR＝l(2R)≤2＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，此时α＝2.若本例(1)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解：l＝αR＝×10＝(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝lR－×R2×sin ＝××10－×102×＝(cm2)．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用均值不等式求最值．1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2 B．sin 2  C． D．2sin 1C　解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于点D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而的长为l＝α·r＝.故选C.2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)A．   B．  C．3   D．D　解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M.在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，所以AM＝r，AB＝r.所以弧长l＝r.所以圆心角α＝＝＝.考点3　三角函数的定义及应用——应用性考向1　三角函数的定义(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)A．(2cos θ，sin θ) B．(－2cos θ，2sin θ)C．(－2cos θ，－2sin θ) D．(2cos θ，－2sin θ)C　解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)A． B．－  C．± D．±A　解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.由cos α＝＝－，解得m＝(m>0)．三角函数定义的应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．考向2　三角函数值的符号(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)A．cos 2α>0 B．cos 2α<0C．sin 2α>0 D．sin 2α<0D　解析：因为α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．故选D.(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．大于等于0A　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A.(3)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(1)三角函数值符号及角的终边位置判断．已知角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．(2)三角函数值的符号规律．一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)A．   B．  C．－ D．－D　解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝(　　)A． B．－  C． D．－D　解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sin θ＝，cos θ＝，故sin 2θ＝2sin θ·cos θ＝2··＝－.故选D.3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]A　解析：因为cos α≤0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以所以－2<a≤3.故选A.