人教B版高考数学一轮总复习第2章第1节函数及其表示学案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习第2章第1节函数及其表示学案，共8页。
课程标准命题解读1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能够选择恰当的方法表示函数，理解函数图像的作用．2．借助函数图像，理解函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性、周期性的概念与意义．3．通过具体实例，结合具体幂函数的图像，理解幂函数的变化规律，掌握指数幂的运算性质．4．了解指数函数、对数函数的实际意义，理解指数函数、对数函数的概念，理解指数函数的单调性与特殊点．5．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.考查形式：高考对本章的考查一般为1～3道小题．考查内容：主要涉及函数的图像，多为给出具体函数解析式判断函数的图像；函数的性质及函数性质的综合问题；指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数函数、对数函数、零点相结合．备考策略：(1)熟练掌握函数的基本知识和解决函数问题的基本方法．(2)关注点——函数的定义域，抽象函数问题及函数的实际应用．(3)重视函数的创新问题——新定义问题，函数零点的交汇问题，函数图像的灵活运用问题．核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第1节　函数及其表示一、教材概念·结论·性质重现1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域；所有函数值的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有代数法(或解析法)、列表法和图像法．4．分段函数(1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(1)直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像有0个或1个交点．(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关系完全一致．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( × )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )(3)f(x)＝＋是一个函数．( × )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )(5)函数y＝f(x)的图像可以是一条封闭的曲线．( × )2．(2021·烟台模拟)函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)B　解析：要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)B　解析：A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数的值域不是[0,2]．4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝________.10　解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．(－∞，2]　解析：因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2].考点1　函数的定义域——基础性1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．2．函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________．(－4,1]　解析：要使函数f(x)有意义，需满足解得－4<x≤1，即函数f(x)的定义域为(－4,1]．3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．[0,1)　解析：因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，所以，要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.所以g(x)的定义域是[0,1)．4．已知函数f(x－1)的定义域为[0,2 022]，则函数g(x)＝的定义域为________．[－2,1)∪(1,2 020]　解析：由函数f(x－1)的定义域为[0，2 022]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1，2 021]．令得－2≤x≤2 020且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 020]．1．常见函数定义域的类型(1)分式型要满足f(x)≠0；(2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；(3)f(x)0要满足f(x)≠0；(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.2．求抽象函数定义域的方法考点2　求函数的解析式——综合性(1)已知f ＝lg x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解：(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝.代入得f(t)＝lg.又x>0，所以t>1.故f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x.②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝.故f(x)＝，x∈R.求函数解析式的三种方法待定系数法当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个关于f(x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式1．已知f ＝＋，则f(x)＝(　　)A．(x＋1)2 B．(x－1)2C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1C　解析：f ＝＋＝2－＋1.令＝t，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1.2．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________．f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1　解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以解得或故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.2x－(x≠0)　解析：2f(x)＋f＝3x，①把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②联立①②可得解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．考点3　分段函数——应用性考向1　分段函数求值(1)设f(x)＝则f(f(1))的值为(　　)A．2 B．3  C．4 D．5B　解析：因为f(x)＝ 所以f(1)＝22－1＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3. 故选B.(2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.　解析：当a>0时，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝.求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量所在区间．(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．[提醒]①自变量的值不确定时，必须分类讨论；②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；③出现f(f(a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．考向2　分段函数与方程、不等式(1)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)D　解析：函数f(x)的图像如图所示．结合图像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或所以x＜0.故选D.(2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.－3　解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(2)如果分段函数的图像易得，也可以画出函数图像后结合图像求解．1．(2020·天津南开中学高三月考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．　解析：由f(x＋4)＝f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝.因此f(f(15))＝f ＝cos＝.2．已知函数f(x)＝若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)　解析：当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2. 综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3．若函数y＝f(x)的图像上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对．2　解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图像的交点个数．由图像知，函数f(x)有2对“和谐点对”．