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北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课后作业题
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这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课后作业题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.5勾股定理与折叠问题（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．10 D．13
3．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
4．如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，四边形纸片ABCD满足ADBC，AD
A．AB＝5，CD＝7 B．AB＝8，CD＝10 C．AB＝6，CD＝8 D．AB＝8，CD＝9
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5 B．3 C． D．
9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若点B落在AC边上，则CE的取值范围是_____．
15．如图，在中，点D在BC边上，，且，将沿AD折叠，点C落在点处，连接，若，则BC的长为______．
16．如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是______．
17．如图，在中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为_________．
18．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2．
19．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．将此三角形纸片先沿CD折叠，使点A落在AB边的点A′处．再沿CE折叠，使点B的对应点B'落在CA的延长线上．则△A'B'E的面积为 _____．
20．如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=10，BC=8，则△ACE的面积为________．
22．如图，是的中线，，，把沿翻折，使点落在的位置，则为___．
23．如图，已知长方形ABCD纸片，AB＝8，BC＝4，若将纸片沿AC折叠，点D落在，则重叠部分的图形的周长为___．
三、解答题
24．如图，将RtABC纸片沿AD折叠，使直角顶点C与AB边上的点E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求线段BD的长．
25．如图，由△ABC中，，，．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，求出AE和AD的长．
,
26．如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．
(1)若，求的值．
(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
参考答案
1．B
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
由翻折得AE=AB=10，DE=BD，
∴CE=AE-AC=10-8=2，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
2．D
【分析】
设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．
解：设BE为x，则DE为x，AE为25-x
∵四边形为长方形
∴∠EAB=90°
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
3．C
【分析】
先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可．
解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，
∴BC=cm，
∵△DEC沿DE折叠得到△ADE，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键．
4．B
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．
解：∵∠ACB=90°，
∴，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵，
∴，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B．
【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
5．C
【分析】
过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，
∴，
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2，
BH2+()2＝52，
解得BH＝，
解得：AG＝3，
在中，
CG2+AG2＝AC2，
CG2+33＝，
解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，
∵DE⊥AB，
∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，
∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，
解得，
∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
6．C
【分析】
连接AG，证明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE对折至△AEF，则EF＝DE，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt△EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．
解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．
∵△ADE沿AE对折至△AEF，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵AF＝AD，AB＝AD，
∴AF＝AB，
又AG是公共边，
∴△ABG≌△AFG（HL），
∵G刚好是BC边的中点，
∴BG＝FG＝，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，
在Rt△EGC中，根据勾股定理列方程：
62＋（12－x）2＝(x＋6)2
解得：x＝4．
所以ED的长是4，答案选C．
【点拨】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．
7．B
【分析】
由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF推出AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，则2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，所以即AB=8，根据AH+BF=8，推出AH=BF=4，所以HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7过D作DH⊥CF于H．则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，利用勾股定理求出CD长．
解：由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF，
∵AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，
∴2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，
∴HF=8，即AB=8，
∵AH+BF=8，
∴AH=BF=4，
∴HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7，
过D作DH⊥CF于H．
则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，
∴CD= =10．
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折问题，正确利用翻折性质和勾股定理是解题的关键
8．C
【分析】
如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
解：如图，
∵是直角
∴
由题意知，，
∴
∴三点共线
∴与重合
在中，由勾股定理得
设，
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为
故选C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．
9．C
【分析】
先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝16，
∴•（6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝4×2，
∴h＝，
∴点F到BC的距离为．
故选：C
【点拨】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．D
【分析】
设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解．
解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵，
∴（a+c）（c﹣a）＝16，
∴c2﹣a2＝32，
∴b2＝32，
∴b＝4，
∴ACb＝8，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
11．B
【分析】
首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝，
∴S△ADE＝5，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝5，
∴•(4+DF)•2＝5，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
即：，
∴h＝，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
12．
【分析】
首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．
解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则
在中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
13．
【分析】
先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
14．
【分析】
根据题意寻找特殊点，当点B折叠后落在点C上时CE最长，当点B折叠后落在点A上时， CE最短，求出两种情况下CE长度，即可求解．
解：当点B折叠后落在点C上时CE最长，
由折叠性质知，，
故CE最大值为，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
由折叠性质知，AE＝BE，
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝(4﹣x)2，
解得：x，
则CE的取值范围是
故答案为．
【点拨】本题考查折叠性质、勾股定理解直角三角形等知识点，解题关键是找出CE取最值时的特殊点．
15．
【分析】
根据题意，设，则，由，可得，中勾股定理建立方程解方程求解即可
解：∵，将沿AD折叠，点C落在点处，
∴
设，则，由，可得，
在中，，
即
解得（负值舍去）
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意求得是解题的关键．
16．
【分析】
先由勾股定理求出BD，DC的长，过点F作FHED交ED的延长线于H，再证，得到FH=AD=3，由SBEF=S四边形BEDF-SEDF即可得到答案．
解：∵ABD是由ABE折叠而成，BDC是由FDC折叠而成，
∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF，
∴BAED， DCBF，BE=BD=DF，，
∵AD=3，AB=4，BC=，
∴BD=，
∴，
∴BCD=DBC=45
∴ BDF=90，
如图，过点F作FHED交ED的延长线于H，
∵ABD+ADB=90，FDH+ADB=90，
∴ABD=FDH，
∴在ABD和HDF中，
∴，
∴FH=AD=3，
∴SBEF=S四边形BEDF-SEDF= SEBD+SDBF- SEDF
=．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的面积，正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
17．
【分析】
根据折叠的性质可得，，从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得出，从而得出为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再求出、的长度，最后求出的长度．
解：∵边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴，
∴，，，
∵边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了图形的翻折变化，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定，根据折叠的性质求得相应的角是解答本题的关键．
18．
【分析】
根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，则BE＝B′E，连接AG，可证△AB′G≌△ADG，则DG＝ B′G＝ cm，CG＝10－DG＝ cm，在Rt△ECG中，设BE＝x cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出△ECG的面积.
解：根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E，
连接AG，如图，
∵A B′＝AD，AG＝AG，
∴Rt△AB′G≌Rt△ADG，
∴DG＝B′G＝ cm，
∴CG＝10－DG＝ cm，
在Rt△ECG中，设BE＝x cm，则CE＝(10－x)cm，EG＝ B′E＋ B′G＝(x＋)cm,
根据勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2,
即,
解得：x＝2,
所以BE＝2 cm，CE＝10－2＝8 (cm)，
△ECG的面积＝(cm2)
故答案为：.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键.
19．
【分析】
由题意可知，，，由折叠可知，， ， ，，，推出为等边三角形，，所以，推出， 即，根据即可求出的面积．
解：，，，
，，
由折叠可知，，，，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
的面积：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题，做题注意折叠的性质和勾股定理的使用，最后找到是直角三角形是解题的关键．
20．
【分析】
在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．
解：在中由勾股定理可知：，
∵，
∴，
∴，
在中由勾股定理可知：，
∴，
设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．
21．
【分析】
求出AC=6，面积法求出CD=，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=，即可得B'D=B'C-CD=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC=AB•CD=AC•BC，
∴CD==，
在Rt△BCD中，BD=，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C=BC=8，BE=B'E，
∴B'D=B'C-CD=8-=，
设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，
在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，
∴（）2+（-x）2=x2，
解得x=4，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6，
∴△ACE的面积为AE•CD=×6×=，
故答案为：．
【点拨】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．
22．
【分析】
根据翻折知：∠ADE＝∠ADC＝45°，ED＝EC，得到∠BDE＝90°，利用勾股定理计算即可．
解：是的中线，
，
翻折，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
23．##
【分析】
先说明△AFD′≌△CFB可得BF＝D′F，设D′F＝x，在Rt△AFD′中根据勾股定理求得x，再根据AF＝AB−BF求得AF，勾股定理求得，最后根据周长公式求解即可．
解：由于折叠可得：AD′=BC，∠D′=∠B，
又∵∠AFD′=∠CFB，
∴△AFD′≌△CFB（AAS），
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8−x，
在Rt△AFD′中，（8−x）2＝x2＋42，解得：x＝3，
∴AF＝AB−FB＝8−3＝5，
在中,
∴重叠部分的图形的周长为
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的正确运用，在直角三角形AFD′中运用勾股定理求出BF的长是解答本题的关键．
24．5
【分析】
利用勾股定理先求出的值，根据折叠的性质可得出，， ，设，列方程求解即可．
解：由题意可知：，，则，，，
设，则，
∴
解方程得：
因此，的长为
所以，
【点拨】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题意构造直角三角形是解此题的关键．
25． ；
【分析】
在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．在中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
解：在中由于，，，
由勾股定理得：，
∴BC＝12，
∵由折叠可知，ED垂直平分BC，
∴E为BC中点，BD＝CD，
∴AE＝BC＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．
在中，，
即92＋(12−x)2＝x2，解得，
∴．
【点拨】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．
26．(1)(2)①36；②
【分析】
（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．
（2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．
(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，
∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，
∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得x＝，
∴S1＝BD×DE＝＝．
(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，
①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，
∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，
∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，
解得DE=x，
∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；
如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，
∴AH=x，AN=3x-HN，
∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，
∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，
解得HN=x，
∴S2=AH×HN=×x×x=x2，
∵S1+S2=13，
∴x2+x2=13，
解得x2=6，
∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36．
答：单个直角三角形纸片的面积是36；
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，
∴BF=BC-CF=4x-3x=x，
∴S3=S△CMF=S△ACM，
∴S3==，
答：此时S3的值为．
【点拨】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．
27．（1）CE＝1.5；（2）
【分析】
（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；
（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．
解：（1）设，
，AD是BC边上的中线，
∴CD＝2，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则CE＝1.5.
（2）设，
∵，AD是BC边上的中线，
，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则，
∴
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．
专题1.5勾股定理与折叠问题（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．10 D．13
3．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
4．如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，四边形纸片ABCD满足ADBC，AD
A．AB＝5，CD＝7 B．AB＝8，CD＝10 C．AB＝6，CD＝8 D．AB＝8，CD＝9
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5 B．3 C． D．
9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若点B落在AC边上，则CE的取值范围是_____．
15．如图，在中，点D在BC边上，，且，将沿AD折叠，点C落在点处，连接，若，则BC的长为______．
16．如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是______．
17．如图，在中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为_________．
18．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2．
19．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．将此三角形纸片先沿CD折叠，使点A落在AB边的点A′处．再沿CE折叠，使点B的对应点B'落在CA的延长线上．则△A'B'E的面积为 _____．
20．如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=10，BC=8，则△ACE的面积为________．
22．如图，是的中线，，，把沿翻折，使点落在的位置，则为___．
23．如图，已知长方形ABCD纸片，AB＝8，BC＝4，若将纸片沿AC折叠，点D落在，则重叠部分的图形的周长为___．
三、解答题
24．如图，将RtABC纸片沿AD折叠，使直角顶点C与AB边上的点E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求线段BD的长．
25．如图，由△ABC中，，，．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，求出AE和AD的长．
,
26．如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．
(1)若，求的值．
(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
参考答案
1．B
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
由翻折得AE=AB=10，DE=BD，
∴CE=AE-AC=10-8=2，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
2．D
【分析】
设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．
解：设BE为x，则DE为x，AE为25-x
∵四边形为长方形
∴∠EAB=90°
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
3．C
【分析】
先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可．
解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，
∴BC=cm，
∵△DEC沿DE折叠得到△ADE，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键．
4．B
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．
解：∵∠ACB=90°，
∴，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵，
∴，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B．
【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
5．C
【分析】
过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，
∴，
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2，
BH2+()2＝52，
解得BH＝，
解得：AG＝3，
在中，
CG2+AG2＝AC2，
CG2+33＝，
解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，
∵DE⊥AB，
∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，
∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，
解得，
∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
6．C
【分析】
连接AG，证明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE对折至△AEF，则EF＝DE，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt△EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．
解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．
∵△ADE沿AE对折至△AEF，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵AF＝AD，AB＝AD，
∴AF＝AB，
又AG是公共边，
∴△ABG≌△AFG（HL），
∵G刚好是BC边的中点，
∴BG＝FG＝，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，
在Rt△EGC中，根据勾股定理列方程：
62＋（12－x）2＝(x＋6)2
解得：x＝4．
所以ED的长是4，答案选C．
【点拨】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．
7．B
【分析】
由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF推出AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，则2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，所以即AB=8，根据AH+BF=8，推出AH=BF=4，所以HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7过D作DH⊥CF于H．则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，利用勾股定理求出CD长．
解：由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF，
∵AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，
∴2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，
∴HF=8，即AB=8，
∵AH+BF=8，
∴AH=BF=4，
∴HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7，
过D作DH⊥CF于H．
则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，
∴CD= =10．
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折问题，正确利用翻折性质和勾股定理是解题的关键
8．C
【分析】
如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
解：如图，
∵是直角
∴
由题意知，，
∴
∴三点共线
∴与重合
在中，由勾股定理得
设，
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为
故选C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．
9．C
【分析】
先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝16，
∴•（6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝4×2，
∴h＝，
∴点F到BC的距离为．
故选：C
【点拨】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．D
【分析】
设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解．
解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵，
∴（a+c）（c﹣a）＝16，
∴c2﹣a2＝32，
∴b2＝32，
∴b＝4，
∴ACb＝8，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
11．B
【分析】
首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝，
∴S△ADE＝5，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝5，
∴•(4+DF)•2＝5，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
即：，
∴h＝，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
12．
【分析】
首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．
解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则
在中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
13．
【分析】
先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
14．
【分析】
根据题意寻找特殊点，当点B折叠后落在点C上时CE最长，当点B折叠后落在点A上时， CE最短，求出两种情况下CE长度，即可求解．
解：当点B折叠后落在点C上时CE最长，
由折叠性质知，，
故CE最大值为，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
由折叠性质知，AE＝BE，
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝(4﹣x)2，
解得：x，
则CE的取值范围是
故答案为．
【点拨】本题考查折叠性质、勾股定理解直角三角形等知识点，解题关键是找出CE取最值时的特殊点．
15．
【分析】
根据题意，设，则，由，可得，中勾股定理建立方程解方程求解即可
解：∵，将沿AD折叠，点C落在点处，
∴
设，则，由，可得，
在中，，
即
解得（负值舍去）
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意求得是解题的关键．
16．
【分析】
先由勾股定理求出BD，DC的长，过点F作FHED交ED的延长线于H，再证，得到FH=AD=3，由SBEF=S四边形BEDF-SEDF即可得到答案．
解：∵ABD是由ABE折叠而成，BDC是由FDC折叠而成，
∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF，
∴BAED， DCBF，BE=BD=DF，，
∵AD=3，AB=4，BC=，
∴BD=，
∴，
∴BCD=DBC=45
∴ BDF=90，
如图，过点F作FHED交ED的延长线于H，
∵ABD+ADB=90，FDH+ADB=90，
∴ABD=FDH，
∴在ABD和HDF中，
∴，
∴FH=AD=3，
∴SBEF=S四边形BEDF-SEDF= SEBD+SDBF- SEDF
=．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的面积，正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
17．
【分析】
根据折叠的性质可得，，从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得出，从而得出为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再求出、的长度，最后求出的长度．
解：∵边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴，
∴，，，
∵边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了图形的翻折变化，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定，根据折叠的性质求得相应的角是解答本题的关键．
18．
【分析】
根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，则BE＝B′E，连接AG，可证△AB′G≌△ADG，则DG＝ B′G＝ cm，CG＝10－DG＝ cm，在Rt△ECG中，设BE＝x cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出△ECG的面积.
解：根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E，
连接AG，如图，
∵A B′＝AD，AG＝AG，
∴Rt△AB′G≌Rt△ADG，
∴DG＝B′G＝ cm，
∴CG＝10－DG＝ cm，
在Rt△ECG中，设BE＝x cm，则CE＝(10－x)cm，EG＝ B′E＋ B′G＝(x＋)cm,
根据勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2,
即,
解得：x＝2,
所以BE＝2 cm，CE＝10－2＝8 (cm)，
△ECG的面积＝(cm2)
故答案为：.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键.
19．
【分析】
由题意可知，，，由折叠可知，， ， ，，，推出为等边三角形，，所以，推出， 即，根据即可求出的面积．
解：，，，
，，
由折叠可知，，，，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
的面积：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题，做题注意折叠的性质和勾股定理的使用，最后找到是直角三角形是解题的关键．
20．
【分析】
在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．
解：在中由勾股定理可知：，
∵，
∴，
∴，
在中由勾股定理可知：，
∴，
设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．
21．
【分析】
求出AC=6，面积法求出CD=，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=，即可得B'D=B'C-CD=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC=AB•CD=AC•BC，
∴CD==，
在Rt△BCD中，BD=，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C=BC=8，BE=B'E，
∴B'D=B'C-CD=8-=，
设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，
在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，
∴（）2+（-x）2=x2，
解得x=4，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6，
∴△ACE的面积为AE•CD=×6×=，
故答案为：．
【点拨】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．
22．
【分析】
根据翻折知：∠ADE＝∠ADC＝45°，ED＝EC，得到∠BDE＝90°，利用勾股定理计算即可．
解：是的中线，
，
翻折，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
23．##
【分析】
先说明△AFD′≌△CFB可得BF＝D′F，设D′F＝x，在Rt△AFD′中根据勾股定理求得x，再根据AF＝AB−BF求得AF，勾股定理求得，最后根据周长公式求解即可．
解：由于折叠可得：AD′=BC，∠D′=∠B，
又∵∠AFD′=∠CFB，
∴△AFD′≌△CFB（AAS），
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8−x，
在Rt△AFD′中，（8−x）2＝x2＋42，解得：x＝3，
∴AF＝AB−FB＝8−3＝5，
在中,
∴重叠部分的图形的周长为
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的正确运用，在直角三角形AFD′中运用勾股定理求出BF的长是解答本题的关键．
24．5
【分析】
利用勾股定理先求出的值，根据折叠的性质可得出，， ，设，列方程求解即可．
解：由题意可知：，，则，，，
设，则，
∴
解方程得：
因此，的长为
所以，
【点拨】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题意构造直角三角形是解此题的关键．
25． ；
【分析】
在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．在中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
解：在中由于，，，
由勾股定理得：，
∴BC＝12，
∵由折叠可知，ED垂直平分BC，
∴E为BC中点，BD＝CD，
∴AE＝BC＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．
在中，，
即92＋(12−x)2＝x2，解得，
∴．
【点拨】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．
26．(1)(2)①36；②
【分析】
（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．
（2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．
(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，
∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，
∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得x＝，
∴S1＝BD×DE＝＝．
(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，
①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，
∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，
∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，
解得DE=x，
∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；
如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，
∴AH=x，AN=3x-HN，
∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，
∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，
解得HN=x，
∴S2=AH×HN=×x×x=x2，
∵S1+S2=13，
∴x2+x2=13，
解得x2=6，
∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36．
答：单个直角三角形纸片的面积是36；
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，
∴BF=BC-CF=4x-3x=x，
∴S3=S△CMF=S△ACM，
∴S3==，
答：此时S3的值为．
【点拨】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．
27．（1）CE＝1.5；（2）
【分析】
（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；
（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．
解：（1）设，
，AD是BC边上的中线，
∴CD＝2，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则CE＝1.5.
（2）设，
∵，AD是BC边上的中线，
，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则，
∴
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．
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