(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习41《直线与圆锥曲线的位置关系》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习41《直线与圆锥曲线的位置关系》(含详解)，共71页。试卷主要包含了直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中弦的相关问题等内容，欢迎下载使用。
考点41 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）了解圆锥曲线的简单应用.
（2）理解数形结合的思想.

一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.
（2）直线与双曲线有两个交点相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点相离.
（3）直线与抛物线有两个交点相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2．中点弦问题
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.

考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

典例1 已知椭圆，直线:y＝x＋m．
(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；
(2)若与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得，即，
由于直线与椭圆有一个公共点，则
所以.
(2)设，
由(1)知：，
则|PQ|==2.
解得：.
典例2 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为．
（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，
所以，，
则抛物线的方程为，抛物线的方程为.
若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；
若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
联立，可得，
当时，，满足题意，此时直线的方程为；
当时，，解得，
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为，或，或.
（2）易得直线MF的方程为，
由得
设，则，，
从而，
所以的面积为．

1．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为
A． B．
C． D．
2．已知点到抛物线的准线的距离为2.
（1）求抛物线的方程及焦点的坐标；
（2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，求直线与的斜率之积.
考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题
直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.

典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
【解析】（1）根据抛物线的定义知，，
∵，∴，
∴．
（2）设直线的方程为，
代入抛物线方程，得，
∵，即，
∴，
即，∴，
∴，，
，
，
∴，
令，，
则，
当且仅当时等号成立．
故的最小值为.
典例4 已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【解析】（1）∵直线与圆相切于点，且，
∴，
∴直线的方程为，
∴，，即，，
∴椭圆的标准方程为；
（2）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
代入椭圆的方程中，
得，
由椭圆定义知，
又，
从而，
设，，
则，.
∴，
代入并整理得，
∴.
故直线的方程为或.

3．直线与双曲线相交于A，B两点．
（1）当时，求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值．
4．已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与轴交于点，试探究：线段与的长度能否相等？如果相等，求直线的方程，如果不等，说明理由．
考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

典例5 如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．

（1）若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
（2）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
【解析】（1）当时，为抛物线的焦点，
∵，∴.
设直线的方程为，，
由得，，.
则，同理，，
∴，
化简得，
当且仅当时等号成立.
故的面积取得最小值，为4.
（2）设直线的方程为，，
由得，，，
则，
同理，
∴直线的方程为，即，
∴直线恒过定点．
典例6 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值.
【解析】（1）由，得，
不妨设直线，
直线.
由，
得，
设，
，，
同理得，
，
直线的斜率为定值2.
（2）设直线，
由，得，
则，
由得，且，
又点到的距离，
，
则，
当且仅当，即，时，取等号，
所以面积的最大值为1.

5．已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程和焦点坐标；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.
6．已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.


1．直线=与椭圆=的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3．直线被椭圆截得的弦长是
A． B．
C． D．
4．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则
A． B．16
C．32 D．
5．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是
A．10 B．9
C．8 D．7
6．已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为
A．2 B．
C． D．
8．过双曲线的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若,则双曲线的渐近线方程为
A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0
C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=0
9．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为
A． B．
C． D．2
10．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
12．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么
A． B．
C． D．2
13．若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则
A．2或 B．
C．2 D．
14．已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个数是
A． B．
C． D．不确定
15．如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为

A． B．
C． D．y2=x
16．已知椭圆C：，过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，若=2，则直线l的斜率为
A． B．
C． D．
17．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，若直线与直线的斜率的乘积为，则的最小值为
A．14 B．16
C．18 D．20
18．直线过抛物线的焦点且与相交于A，B两点，且的中点的坐标为，则抛物线C的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
19．如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，则弦AB的长等于__________．

20．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.
21．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于___________.
22．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．
23．过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点_________.
24．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则___________．
25．已知椭圆的离心率，焦距是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．








26．已知抛物线上的点P到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.









27．设、分别为双曲线的左、右项点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标．








28．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如图，为抛物线的准线上任一点，过点作抛物线的切线，，切点分别为，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.





29．已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.








30．已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.
（1）求；
（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.








31．已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.
（1）求的值；
（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．








32．已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．








33．已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，交轴于点，已知，，求证：为定值．






34．已知圆，抛物线．
（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；
（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值．








35．已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且，证明：直线AB过定点．









36．已知椭圆的左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．











1．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
3．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
4．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则
A．5 B．6
C．7 D．8
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B．
C． D．
6．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
7．（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________________．
10．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．















11．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.









12．（2019年高考北京卷理数）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．










13．（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．









14．（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．







15．（2019年高考浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．





16．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．









17．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．









18．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．









19．（2018北京理科）已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，求证：为定值．








20．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．




21．（2018天津理科）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．
若(O为原点)，求k的值．





22．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程．








23．（2017新课标全国I理科）已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．








变式拓展

1．【答案】C
【解析】因为，所以，又，
所以在直角三角形中，，
因为，所以，
所以椭圆的方程为.
故选C.
2．【解析】（1）由已知得，所以
所以抛物线的方程为，焦点的坐标为；
（2）设点,，由已知得，
由题意直线的斜率存在且不为0.
设直线的方程为.
由得，
则，
因为点在抛物线上，所以，，
则，
故.
故直线与的斜率之积为2.
3．【解析】由消去y得．
设，，则，．
（1）
．
当时，．
（2）由题意知，OA⊥OB，则，即，
即，即，解得．
所以当以AB为直径的圆经过坐标原点时，a的值为或．
4．【解析】（1）设直线，代入抛物线方程得：，
，解得：，
抛物线方程为.
（2）由（1）知：，
联立，得，
此时恒成立，
，，
过焦点，，
由，，得，
由得，即，
，，解得：或（舍），
.
当直线的方程为时，.
5．【解析】（1）因为抛物线过点，所以，
所以抛物线方程为，焦点坐标为.
（2）设直线的方程为，
由，消去整理得，
则，即，
设，则，
且.
直线，
，
，
，
，
即，
所以，直线恒过定点.
6．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，
易知，所以直线.
令，可知：,
此时.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，直线直线
令，可知，
联立，消去整理得，
∴.
此时.
综上所述，为定值，且.
考点冲关

1．【答案】A
【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．
2．【答案】D
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；
当k≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点.
把代入得，
令，解得k=或k=﹣（舍去）．
∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k＜．
故选D．
3．【答案】A
【解析】将直线代入，可得，即，
∴x1＝﹣2，x2，
∴y1＝﹣1，y2，
∴直线被椭圆截得的弦长为.
故选A．
4．【答案】C
【解析】由题意知，AB所在直线的方程为，联立消元得，设，则，
所以，故选C．
5．【答案】B
【解析】由抛物线焦点弦的性质可知：，
则，
当且仅当时等号成立.
即的最小值是9.本题选择B选项.
6．【答案】B
【解析】由，得，
直线与抛物线相切，，
双曲线方程为，
可得，
则双曲线的离心率.
故选B．
7．【答案】C
【解析】由题得.
设，由题得，
则，
两式相减得，
∴，
即，
即.
故选C.
8．【答案】C
【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,
则直线的方程为x+y-a=0.
将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(,),C(,-),
则有,.
因为,所以,
化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x±y=0.
故选C.
9．【答案】D
【解析】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，
将该直线方程与抛物线方程联立，得，，
由抛物线的定义得，得，，，，
可得出，，故选D．
10．【答案】B
【解析】联立方程得，消去y化简得，
由题意得
.
故该椭圆离心率的取值范围是.
故选B．
11．【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线不妨设为：，
则，可得 .
一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得，
即，解得．
故选B．
12．【答案】B
【解析】抛物线方程为，焦点，准线的方程为，
直线的斜率为，∴直线的方程为，
由可得点坐标为，，
，为垂足，点纵坐标为，
代入抛物线方程，得点坐标为，，
.
故选B.
13．【答案】C
【解析】设．
由消去，得，
故，解得，且．
由，且成等差数列，
得，得，
所以，解得或，
又，故，
故选C．
14．【答案】A
【解析】因为是关于的方程的两个不等实根，
所以，，
且，，
则直线的斜率，
则直线的方程为，
即，
整理得，
故直线恒过点，而该点在椭圆内部，
所以直线和椭圆相交，即公共点有2个.
故选A．
15．【答案】C
【解析】过点B作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得,所以|BB1|=|FF1|=,
由抛物线的定义得|BF|=|BB1|=.
令A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知F(,0),可设直线l的方程为y=k(x-).
联立方程,消去y得k2x2-p(k2+2)x+=0,则x1+x2=,x1·x2=.
又由抛物线的定义知|AF|=x1+,|BF|=x2+,
则可得+=,于是有+=,解得2p=3,
所以此抛物线的方程是.
选C.
16．【答案】C
【解析】由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l:y=k(x-1),
则由消去y化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=.
因为=2,所以x1+2x2=3,
所以x2=,x1=,
所以x1x2=·,化简得k2=,
解得k=±.
故选C.
17．【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，依题意可知的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，
联立，消去，整理得，
设，
则，
故，
同理可求得.
故，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故选B．
18．【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，
可得，
所以，
代入直线的方程，得，
又因为的中点为，所以，解得或，
∴或，
∴抛物线C的方程为或．
故选B.
19．【答案】
【解析】设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由椭圆方程知，，所以，
所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，故直线l的方程为y＝x－2．
将其代入，化简整理得，所以，，
所以．
20．【答案】
【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，
代入抛物线方程，整理得，
∵渐近线与抛物线相切， ，即.
故答案为.
21．【答案】
【解析】由题意，抛物线的焦点，
则过焦点F且倾斜角为的直线方程为，
设，，由得，
∴，，
∴弦AB的中点坐标为，
则弦AB的垂直平分线方程为，
∵弦AB的中点在该直线上，∴，
解得.
22．【答案】
【解析】设，中点，则，
把点代入椭圆的方程，整理得，
两式相减得，整理得，
即.
23．【答案】(2,-1)
【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP:y-1=k(x-1),与抛物线C:y2=x联立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得, ,即P(()2,),同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1满足条件,即直线PQ恒过定点(2,-1).
24．【答案】
【解析】设，，
直线的方程为，
由抛物线的焦点弦公式，得，
∴，
联立直线与抛物线的方程，
消去y得，，
故，
联立方程组，解得，，
则，
故答案为．
25．【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
将代入，整理得，
所以 ①，，，
又，，
所以，
又，
代入上式，整理得，即，
解得（舍去）或，即，
经验证，能使①成立，
故．
26．【解析】（1）设，
由定义知，，，
故抛物线的方程为.
（2）设，由（1）知.
若直线的斜率不存在，则方程为，
此时，所以的面积为，不满足题意，所以直线的斜率存在；
设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，，，
所以，
点到直线的距离为，
所以，解得.
故直线的方程为或.
27．【解析】（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，
因为焦点到渐近线的距离为，所以，
又，
所以双曲线的方程为．
（2）设，
则，
由，
所以，所以，
又，所以，
所以，所以．
28．【解析】（1）根据题意，得，
所以.
故抛物线的标准方程为.
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.
由，得.
所以，得.
同理，得，
所以，
分别令，得，，
所以


.
29．【解析】（1）由已知点代入椭圆方程，得，
由得，可转化为，
由以上两式解得，
所以椭圆C的方程为：.
（2）存在这样的直线.
当l的斜率不存在时，显然不满足,
所以设所求直线方程为，
代入椭圆方程化简得：，
设，
则①，②，
，
由已知条件可得,③
综合上述①②③，可解得，符合题意,
所以所求直线的方程为：.
30．【解析】（1）设准线与轴的交点为点，连结，
因为是正三角形，且，
所以在中，，
所以.
（2）设，直线，
由（1）知，
联立方程：，消去得.
因为，所以，
所以，
又原点到直线的距离为，
所以，
同理，
所以，
当且仅当时取等号.
故的最小值为.
31．【解析】（1）设，由抛物线定义知，
又，，
所以，解得，
将点代入抛物线方程，解得.
（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，
设直线的方程为，点，，
由 得，.
所以，，
所以

，
解得，
所以直线的方程为，恒过定点．
【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.
（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；
（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.
32．【解析】（1）由题意知，，解得．
因此，所求双曲线的方程是，即．
（2）∵直线过点且斜率为，∴直线的方程为．
由得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，
解得．
（3）设直线与双曲线的交点为，
由（2）可得，
又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，为坐标原点），
于是，，即，
即，即，
解得．
又满足，且，
所以，所求实数的值为．
33．【解析】（1）由的焦点在圆上得，则.
所以抛物线的标准方程为.
由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上，可解得，则，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，，则．
由消去，得，
则，.
由，，得，，
整理得，
故.
故为定值.
34．【解析】（1）由题意知，所以.
所以抛物线的方程为.
将与联立得点的纵坐标为，
结合抛物线的定义得.
（2）由得：，，
所以直线的斜率为，故直线的方程为，
即.
又由得且，
所以



令，，则，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，，
所以，
即的最大值为.
35．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，
又直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，则，即，
由，解得.
故椭圆C的方程为．
（2）由（1）可知．
①若直线的斜率不存在，设方程为，则．
由已知得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，易知．
设，由得，
则，.（1）
∵，∴，
即，即.
把（1）代入得，则，故.
则直线的方程为，即，
故直线AB过定点．
36．【解析】（1）由题意可得：，，得，
则.
所以椭圆.
（2）当直线与轴重合时，不妨取，此时；
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，
联立得，
显然，，.
所以





.
当时，取最大值.此时直线方程为，
不妨取，所以.
又，所以的面积.
【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.
（1）由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程.
（2）设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积.
直通高考

1．【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为.
故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为.
故选B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
2．【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
.
故选A．
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
3．【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有，
∴，，，
∴.
故选D.
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.
4．【答案】D
【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线联立，消去可得，解得，，又，所以，，从而可以求得，故选D．
5．【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，由的斜率为可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，.
故选D．
6．【答案】B
【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以.
故选B．
7．【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，
设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，
所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，
即，
从而可求得，
所以.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.
8．【答案】2
【解析】如图，由得
又得OA是三角形的中位线，即
由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，得
又，∴
又渐近线OB的斜率为，
∴该双曲线的离心率为．

【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.
9．【答案】2
【解析】设，，则，所以，所以，取的中点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，因为，所以，因为为的中点，所以平行于轴，因为，所以，则，所以．
10．【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．
【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.
11．【解析】（1）设，则.
由于，所以切线DA的斜率为，故 .
整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.
于是，
.
设分别为点D，E到直线AB的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.
当=0时，S=3；当时，.
因此，四边形ADBE的面积为3或.
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.
12．【解析】（1）由抛物线经过点，得.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的焦点为.
设直线的方程为.
由得.
设，则.
直线的方程为.
令，得点A的横坐标.
同理得点B的横坐标.
设点，则，



.
令，即，则或.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.
【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率．
在中，令，得．
由题意得，所以直线的斜率为．
由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．
【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．
14．【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(−1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2−c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x−1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(−1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，解得或.
将代入，得 ，
因此.
又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.
因此.

解法二：由（1）知，椭圆C：.
如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(−1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.

【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
15．【解析】（1）由题意得，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设，重心.令，则.
由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x轴上，故，得.
所以，直线AC方程为，得.
由于Q在焦点F的右侧，故.从而
.
令，则m>0，
.
当时，取得最小值，此时G（2，0）．
【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
16．【解析】（1）由题意得，l的方程为．
设，
由得，，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此l的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则解得或
因此所求圆的方程为或．
17．【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1．
由已知可得，点A的坐标为或，
所以AM的方程为或．
（2）当l与x轴重合时，．
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为．
由得．
将代入得．
所以，则．
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以．
综上，．
18．【解析】（1）设，则．
两式相减，并由得．
由题设知，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得，设，则．
由（1）及题设得．
又点P在C上，所以，从而，．
于是，同理，
所以，故，即成等差数列．
设该数列的公差为d，则．①
将代入得，所以l的方程为，
代入C的方程，并整理得，故，
代入①解得，所以该数列的公差为或．
19．【解析】（1）因为抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为．
由可得．
依题意，解得或．
又，与轴相交，故直线不过点．从而．
所以直线斜率的取值范围是．
（2）设，，由（1）知，．
直线的方程为，
令，得点的纵坐标为．
同理得点的纵坐标为．
由，得，，
所以，
所以为定值．
20．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．
又点在椭圆C上，所以，解得
因此椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由消去y，得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．因此点P的坐标为．

②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，由（*）得，
所以．
因为，所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
21．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．
由已知可得，，，由，可得ab=6，
从而a=3，b=2，所以椭圆的方程为．
（2）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以k的值为
22．【解析】（1）设，．
由可得，则．
又，故．
因此的斜率与的斜率之积为，所以．
故坐标原点在圆上．
（2）由（1）可得．
故圆心的坐标为，圆的半径．
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得．
所以，解得或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
23．【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上．
因此，解得，
故C的方程为．
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，
由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．
则，得，不符合题设，
从而可设l：（）．
将代入得，
由题设可知．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=．
而．
由题设，
故，
即，解得，
当且仅当时，
于是l：，即，
所以l过定点（2，）．
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．