(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习42《曲线与方程》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习42《曲线与方程》(含详解)，共39页。试卷主要包含了曲线与方程的概念，坐标法求曲线方程的步骤，两曲线的交点等内容，欢迎下载使用。
考点42 曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

一、曲线与方程的概念
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合；
（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．
三、两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

考向一 考查曲线与方程的概念
判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：
（1）曲线上的每个点都符合某种条件；
（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.

典例1 方程表示的曲线是
A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线
C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段
【答案】C
【解析】可变形为或，
故表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线.
典例2 方程y=-对应的曲线是

【答案】A　
【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.

1．设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的
A．一条直线 B．一个圆
C．双曲线的一支 D．一个椭圆
2．方程表示的曲线不可能是
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
考向二 直接法求轨迹方程
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

典例3 已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P(x，y)的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设P（x，y），M（﹣2，0），N（2，0），，
则，
由，得，
化简整理得．
故选A．
典例4 已知坐标平面上一点与两个定点，，且．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．
【解析】（1）由，得，
化简得，
所以点的轨迹方程是，
该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，
所以符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
圆心到的距离，
由题意，得，解得．
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．

3．若动点到点的距离是到点D(2,0)的距离的2倍，则动点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
4．已知和是平面直角坐标系中的两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.
考向三 定义法求轨迹方程
求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．
利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

典例5 已知圆A，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切.
（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；
（2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值.
【解析】（1）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=，
∴│PA│－│PB│=2.
故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
其方程为.
（2）设MN的方程为，
代入双曲线方程，得.
由，解得.
设,
则，
当时,.
故｜MN｜的最小值为6.

5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为
A． B．
C． D．
6．已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程.
（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
考向四 相关点法求轨迹方程
动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程．

典例6 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程.
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0).
因为，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以，即，
所以动点Q的轨迹方程为.
典例7 在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）解法一：设点，
因为轴，为的中点，所以，
因为，所以，即，化简得，
所以，点的轨迹的方程为.
解法二：依题意可知点的轨迹方程为，
设点，因为轴，为的中点，所以，
所以，即，
所以，点的轨迹的方程为.
（2）依题意可知，设直线的方程为，
、，
由，得，
所以，，，
所以

，
所以，为定值0.

7．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

考向五 参数法求轨迹方程
若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.
参数法求轨迹方程的步骤：
（1）选取参数k，用k表示动点M的坐标．
（2）得出动点M的参数方程.
（3）消去参数k，得m的轨迹方程．
（4）由k的范围确定x，y的范围．

典例8 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).

（1）求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为4∶1,求直线l的方程.
【解析】解法一：（1）依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,
Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.
设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.
（2）依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.
由得,
此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.
设,则，
因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.
又x1·x20,即m2+2mb>0　①.
又y1+y2=-2m,x1+x2=2mb-m(y1+y2)=2mb+2m2,∴M(mb+m2,-m).
由点M在直线l上,得-m=m(mb+m2-2),即b=　②.
把②代入①,得m2