北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面向量及运算的坐标表示课时训练

第二章　4.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．(多选)给出下面几种说法，其中说法正确的是(　ABD　)

A．相等向量的坐标相同

B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C．一个坐标对应于唯一的一个向量

D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应

[解析]　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误．

2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　C　)

A． B．

C．(－8,1) D．(8,1)

[解析]　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．

3．下列各组向量中，可以作为基底的是(　B　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)

B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)

C．e1＝(－3,4)，e2＝

D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)

4．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　A　)

A．30° B．60°

C．45° D．75°

[解析]　∵a∥b，∴sin2α＝×＝，

∴sin α＝±.

∵α为锐角，∴α＝30°.

5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　B　)

A．－6 B．6

C．2 D．－2

[解析]　a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，

由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，

∴λ＝6.

6．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　A　)

A．(4,5) B．(5，－4)

C．(3,2) D．(1,3)

[解析]　设D点坐标为(x，y)，

则＝(4,3)，＝(x，y－2)，

由＝，得

∴∴D(4,5)．

二、填空题

7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ (－3，－5) .

[解析]　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．

8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为 (－3，3) .

[解析]　设点A(x，y)，则

x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，

y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，

即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．

9．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为  .

[解析]　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)

∵(a＋λb)∥c，

∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.

三、解答题

10．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第三象限的点P满足＝＋，求实数λ的取值范围．

[解析]　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，

又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)

＝(3＋5λ，1＋7λ)，

于是由＝＋，

可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

所以即

因为点P在第三象限，

所以解得λ<－1．

故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　C　)

A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

[解析]　a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行．

2．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝(　A　)

A．(－2,4) B．(4,6)

C．(－6，－2) D．(－1,9)

[解析]　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A．

3．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　AD　)

A．k＝－1 B．k＝1

C．c与d同向 D．c与d反向

[解析]　∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．

4．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　C　)

A．k＝－2 B．k＝

C．k＝1 D．k＝－1

[解析]　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．

二、填空题

5．(北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝ 1 .

[解析]　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，

所以＝，解得k＝1．

6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为 (，) .

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，

由于点P在线段P1P2上，则有＝，

又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，

由题意得解得

∴点P的坐标为.

三、解答题

7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．

[解析]　由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，

∴B.

x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，

∴D.

∴＝，＝.

8.如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D、M、B三点共线．

[解析]　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.

∵CE⊥AB，而AD＝DC，

∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

∴＝，∴∥，又E，D，C，B四点不共线，

∴DE∥BC．

(2)∵M为EC的中点，∴M，

∴＝(－1,1)－＝，

＝(1,0)－＝.

∴＝－，∴∥.

又 MD与MB共点于M，

∴D，M，B三点共线．