2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷，共28页。

2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个各选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号源黑.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．÷＝ C．2×＝ D．＝3
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
5．（3分）已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
6．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
7．（3分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．AB＝BC B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
8．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
9．（3分）下列命题：
①全等三角形的对应角相等；
②一个正数的绝对值等于本身；
③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形．
其中逆命题是真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）

A． B．3 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需耍写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形周长为　 　．
13．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝200°，则∠D＝　 　．

14．（3分）化简式子＝　 　．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是　 　．

16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝　 　度．

三、解箐题（共5小题.第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）﹣﹣；
（2）（﹣）÷．
18．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．

19．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝3，AD＝5，则BE的长为　 　．

20．（10分）网格中，我们把各顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图是边长为1个单位的小正方形组成的网格，已知△ABC，AB＝，BC＝，AC＝2，请在这个网格中按要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（1）画出格点三角形ABC，标上相应字母，并写出△ABC的高AH的长　 　；
（2）①画出△ABC的中线AD；
②标出格点E，画线段AE，使AE平分∠BAC．

21．（12分）已知，P为▱ABCD内一点．

（1）如图1，过P作PM∥DC，且PM＝DC；连接BM，CM，AP，DP，求证：△BCM≌△ADP；
（2）在（1）的条件下，连接BP，CP（如图2），试判断四边形PBMC与▱ABCD的面积之间的关系，并说明理由；
（3）过P作GH∥BC，EF∥AB，分别交▱ABCD的边于G，H，E，F（如图3），则图中共有　 　个平行四边形，若P在AC上，则图中面积相等的平行四边形有　 　对．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.
22．（4分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 　 　．
23．（4分）如图，在△ABC中，BC＝6，将△ABC向任意方向平移8个单位长度得到△A'B'C'，M，N分别是AB，A'C'的中点，则MN的取值范围是　 　．

24．（4分）已知△ABC面积为45cm2，AB＝15cm；AC＝18cm，过B，C两点作高BE，CF，则CE+BF的值为　 　
cm．
25．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，则四边形ABCD的面积是 　 　．

五、解答题（共3小题.第26题，10分，第27题12分.馆28题.12分共，34分）下列各题需要在答题卷指定位五写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
①+；
②x2﹣xy+y2；
（2）若+＝8，则﹣＝　 　．
27．（12分）已知口ABCD中，AD＝2AB．

（1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM．
①如图1，求∠BMC的度数；
②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP，垂足为H，交AD于G，求证：BN＝CG+GN；
（2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值　 　．
28．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，D两点坐标分别为A（0，a），D（b，b），且a﹣b＝+．
（1）求A，D两点坐标；
（2）点B，C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形．
①如图，当点B，C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE＝GO，求证：4AH2+DE2＝2AE2；
②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB，CD于M，N，试探究OM，BM，CN三条线段之间的数量关系．


2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个各选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号源黑.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B、最简二次根式，符合题意；
C、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．÷＝ C．2×＝ D．＝3
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式＝＝，所以B选项的计算正确；
C、原式＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝＝，所以D选项的计算错误．
故选：B．
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形；
B、∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2+AC2，即△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形．
故选：C．
5．（3分）已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：A．
7．（3分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．AB＝BC B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，
∴EH∥FG，EF＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC＝BD，
∵EH＝AC，EF＝BD，
则EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC＝BD即可推出四边形是菱形，
故选：C．

8．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．

9．（3分）下列命题：
①全等三角形的对应角相等；
②一个正数的绝对值等于本身；
③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形．
其中逆命题是真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①逆命题为对应角相等的两三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
②逆命题为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意；
③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c，则满足a2+b2＝c2，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题的有0个，
故选：A．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）

A． B．3 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵S菱形ABCD＝24，
∴8×BD＝24，
解得：BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝6＝3，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需耍写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
11．（3分）计算：＝　4　．
【解答】解：原式＝＝＝4．
故答案为：4
12．（3分）直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形周长为　12　．
【解答】解：设Rt△ABC的斜边长为x，
则由勾股定理得：
x2＝32+42＝25，
∴解得：x＝5（负数舍去），
∴此直角三角形的周长＝3+4+5＝12．
故答案为：12．
13．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝200°，则∠D＝　80°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，∠D＝80°．
故答案为：80°．
14．（3分）化简式子＝　﹣a　．
【解答】解：根据题意得﹣a3≥0，
所以a≤0，
所以＝＝•＝﹣a．
故答案为﹣a．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是　11　．

【解答】解：由图可知，S△ABC＝SABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），

设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2．
∵△ACE，△ABD，△BCF是等边三角形，
则S△ACE＝b2，S△ABD＝c2，S△BCF＝a2，
∴S△ABC＝c2﹣3﹣（b2﹣8）﹣（a2﹣6）＝11．
故答案为：11．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝　100　度．

【解答】解：∵CF⊥AP，∠APB＝40°，
∴∠FCP＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BCF＝180°﹣50°＝130°，即∠ECD+∠ECF＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D，E分别为BC和AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ACB，
∴∠DEC＝180°﹣2∠ACB，
∵CF⊥AP，E为AC的中点，
∴EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠CEF＝180°﹣2∠ECF，
∴∠DEF＝∠DEC+∠CEF＝180°﹣2∠ACB+180°﹣2∠ECF＝360°﹣2×130°＝100°，
故答案为：100．
三、解箐题（共5小题.第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）﹣﹣；
（2）（﹣）÷．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
＝；
（2）原式＝﹣
＝2﹣．
18．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝20cm，BC＝15cm，
∴由勾股定理可得：AC＝＝＝25（cm）；
∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）知，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝+＝234（cm2）．

19．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝3，AD＝5，则BE的长为　　．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝BC，
∵CE∥BD，AD∥BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵BD＝BC，
∴四边形BDEC是菱形；
（2）解：如图，连接BE交CD于O，

∵四边形BDEC是菱形，CD＝AB＝3，
∴DO＝CO＝CD＝，BO＝BE，CD⊥BE，
在Rt△BDO中，AD＝BD＝5，
∴BO＝＝＝，
∴BE＝2BO＝，
故答案为：．
20．（10分）网格中，我们把各顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图是边长为1个单位的小正方形组成的网格，已知△ABC，AB＝，BC＝，AC＝2，请在这个网格中按要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（1）画出格点三角形ABC，标上相应字母，并写出△ABC的高AH的长　　；
（2）①画出△ABC的中线AD；
②标出格点E，画线段AE，使AE平分∠BAC．

【解答】解：（1）如图，设BC边上的高为h，则有••h＝××2，
∴h＝，
故答案为：．

（2）①如图，线段AD即为所求作．
②如图，线段AE即为所求作．
21．（12分）已知，P为▱ABCD内一点．

（1）如图1，过P作PM∥DC，且PM＝DC；连接BM，CM，AP，DP，求证：△BCM≌△ADP；
（2）在（1）的条件下，连接BP，CP（如图2），试判断四边形PBMC与▱ABCD的面积之间的关系，并说明理由；
（3）过P作GH∥BC，EF∥AB，分别交▱ABCD的边于G，H，E，F（如图3），则图中共有　9　个平行四边形，若P在AC上，则图中面积相等的平行四边形有　3　对．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵PM∥DC，且PM＝DC，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴PD＝MC，
∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，
∴AB∥PM，且AB＝PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
在△ADP和△BCM中，
，
∴△ADP≌△BCM（SSS）．

（2）解：如图2中，结论：S四边形PBMC＝S平行四边形ABCD．

∵点P是平行四边形ABCD内部一点，
∴S△PAB+S△PCD＝S平行四边形ABCD，
∵四边形ABMP，四边形CDPM都是平行四边形，
∴S△ABP＝S△PMB，S△PCM＝S△CDP，
∴S四边形PBMC＝S△PBM+S△PCM＝S△ABP+S△CDP＝S平行四边形ABCD．

（3）解：如图3中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴四边形ABEF，四边形CDEF，四边形AEPG，四边形BFPG，四边形DEPH，四边形CFPH，四边形BCHG，四边形ADHG都是平行四边形．
故图中一共有9个平行四边形，
当点P在AC上时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ACD，
∵四边形AGPE，四边形PFCH都是平行四边形，
∴S△AGP＝S△AEP，S△PCF＝S△PCH，
∴S平行四边形BFPG＝S平行四边形DEPH，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形ADHG，S平行四边形BCHG＝S平行四边形EFCD
∴面积相等的平行四边形共3对，
故答案为：9，3．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.
22．（4分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 　2　．
【解答】解：∵3★2＝，8★12＝＝
∴（3★2）×（8★12）＝（）（）
＝2（）（）
＝2．
故答案为2．
23．（4分）如图，在△ABC中，BC＝6，将△ABC向任意方向平移8个单位长度得到△A'B'C'，M，N分别是AB，A'C'的中点，则MN的取值范围是　5≤MN≤11　．

【解答】解：取AC的中点P，连接PM、PN，如图，
∵M，N分别是AB，A'C'的中点，
∴MP＝BC＝×6＝3，P、N为平移前后的对应点，
∵△ABC向任意方向平移8个单位长度得到△A'B'C'，
∴PN＝8，
∵PN﹣PM≤MN≤PN+PM（当且仅当M、P、N共线时取等号），
即8﹣3≤MN≤8+3，
∴5≤MN≤11．
故答案为5≤MN≤11．

24．（4分）已知△ABC面积为45cm2，AB＝15cm；AC＝18cm，过B，C两点作高BE，CF，则CE+BF的值为　（3+2）或（33+22）　
cm．
【解答】解：如图所示，过B，C两点作高BE，CF，
∵△ABC面积为45cm2，
∴AB•CF＝45，AC•BE＝45，
又AB＝15cm，AC＝18cm，
∴CF＝6cm，BE＝5cm，
在直角三角形ACF中，由勾股定理可得AF＝＝（cm），
在直角三角形ABE中，由勾股定理可得AE＝＝（cm），
∴CE+BF＝（AC﹣AE）+（AF﹣AB）
＝18﹣+﹣15
＝（3+2）（cm）．
如图，当两条高都在△ABC的外部时，

同法可得，CE+BF＝AE+AC+AB+AF＝10+18+15+12＝（33+22）（cm）
故答案为：（3+2）或（33+22）．

25．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，则四边形ABCD的面积是 　+3　．

【解答】解：如图，将△BCD沿BD中垂线对折，使B与D重合，C的对应点为C′，
∴BC′＝DC＝3，DC′＝BC＝，∠DBC′＝∠BDC，
∴∠ABC′＝∠ABD+∠DBC′＝∠ABD+∠BDC＝60°，
又AB＝BC′＝3，
∴△AC′B是等边三角形，
∴AC′＝AB＝3，
∵DC′＝，AD2+AC′2＝22+32＝13，
∴△AC′D是直角三角形，且∠DAC′＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC′+S△ADC′＝×32+×2×3＝+3．
故答案为：+3．

五、解答题（共3小题.第26题，10分，第27题12分.馆28题.12分共，34分）下列各题需要在答题卷指定位五写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
①+；
②x2﹣xy+y2；
（2）若+＝8，则﹣＝　﹣2　．
【解答】解：（1）①+＝，
∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x+y＝2，xy＝3，
当x+y＝2，xy＝3时，原式＝；
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x+y＝2，xy＝3，
当x+y＝2，xy＝3时，原式＝（2）2﹣3×3＝19；
（2）设＝x，＝y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵+＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±2，
∵﹣＜4＜2，
即﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
27．（12分）已知口ABCD中，AD＝2AB．

（1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM．
①如图1，求∠BMC的度数；
②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP，垂足为H，交AD于G，求证：BN＝CG+GN；
（2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值　9﹣　．
【解答】（1）①解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BM，CN分别平分∠ABC，∠DCB，
∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝90°．

②证明：如图2中，延长BM交CG的延长线于T．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵BM，CN分别平分∠ABC，∠DCB，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴MB＝MC，
∵CG⊥BP，
∴∠CHN＝∠BMN＝90°，
∵∠BNM＝∠CNH，
∴∠MBN＝∠MCT，
在△BMN和△CMT中，
，
∴△BMN≌△CMN（ASA），
∴MN＝MT，BN＝CT，
∵AD∥BC，
∴∠GMN＝∠MCB＝45°，
∵∠CMT＝90°，
∴∠GMN＝∠GMT＝45°，
在△GMN和△GMT中，
，
∴△GMN≌△GMT（SAS），
∴GN＝GT，
∴BN＝CT＝CG+GT＝CG+GN．

（2）解：如图3中，过点E作EN⊥BC于N，将线段EN绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接QM，延长QM交AD于H，过点A作AJ⊥EM于J．

∵∠PEQ＝∠NEM＝90°，
∴∠PEN＝∠QEM，
在△PEN和△QEM中，
，
∴△PEN≌△EQM（SAS），
∴∠EMQ＝∠ENP＝90°，
∵AE＝EB＝2，∠ENB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝EB＝1，
∴EM＝EN＝＝＝，QH⊥EM，
∴点Q在直线QH上运动，当点Q与H重合时，DQ的值最小，
∵AE＝2，AJ⊥EJ，∠AEJ＝∠B＝60°
∴∠EAJ＝30°，EJ＝AE＝1，
∴JM＝EM﹣EJ＝﹣1，
∵∠AJM＝∠JMH＝∠DAJ＝90°，
∴四边形AJMH是矩形，
∴AH＝JM＝﹣1，
∴DH＝AD﹣AK＝8﹣（﹣1）＝9﹣，
∴DQ的最小值为9﹣．
故答案为：9﹣．
28．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，D两点坐标分别为A（0，a），D（b，b），且a﹣b＝+．
（1）求A，D两点坐标；
（2）点B，C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形．
①如图，当点B，C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE＝GO，求证：4AH2+DE2＝2AE2；
②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB，CD于M，N，试探究OM，BM，CN三条线段之间的数量关系．

【解答】（1）解：∵a﹣b＝+．
又∵，
∴b＝5，a＝5，
∴A（0，5），D（5，5）．

（2）证明：如图1中，连接EG，延长AH交CD于T．

∵AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠ADO＝45°，
∵OG⊥OD，
∴∠DOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOD＝45°，
∴∠AOG＝∠ADE，
在△AOG和△ADE中，
，
∴△AOG≌△ADE（SAS），
∴AG＝AE，∠OAG＝∠DAE，
∴∠GAE＝∠OAD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABO＝∠ADT，
∴∠GAH＝∠DTH，
在△AHG和△THD中，
，
∴△AHG≌△THD（ASA），
∴AG＝DT，
∴AE＝DT，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠OAE＝90°，
∴∠ABO＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠ADT，
在△ADT和△OAE中，

∴△ADT≌△OAE（SAS），
∴AT＝OE＝2AH，
在Rt△OGE中，OE2+OG2＝EG2＝2AE2，
∴DE2+4AH2＝2AE2．

（3）解：结论：OM＝BM+CN．
理由：如图2中作NE∥BC交AB的延长线于E．

∵BC∥NE，ME∥CN，
∴四边形BENC是平行四边形，
∴BE＝CN，BC＝EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴EN＝AD＝AO，
∵OM⊥AB，
∴∠AMO＝∠NME＝∠AOB＝90°，
∴∠MAO+∠AOM＝90°，
∵∠AOM+∠BOM＝90°，
∴∠MAO＝∠BOM，
∵∠BOM＝∠ENM，
∴∠MAO＝∠MNE，
在△AMO和△NME中，
，
∴△AMO≌△NME（AAS），
∴OM＝EM，
∵EM＝BM+BE，BE＝CN，
∴OM＝BM+CN．
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