高考数学(理数)一轮复习学案2．8《函数的图象》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案2．8《函数的图象》(含详解)，共10页。

2．8　函数的图象


1．作函数的图象的两种基本方法
(1)利用描点法作图，其一般步骤为：
①确定函数定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
④描点并作出函数图象．
(2)图象变换法．
2．图象变换的四种形式
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到____________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到；
②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．
(2)对称变换
①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；
②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．
(3)伸缩变换
①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的_______________________；
②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的__________________________．
(4)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；
②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．

自查自纠：
2．(1)①y＝f(x＋a)　右　②y＝f(x)＋b　下
(2)①y轴　x轴　原点　②x＝m
(3)①A倍　②倍


　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(　　)

　　　　A　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　D
解：因为loga2<0，所以0 函数y＝1－的图象是 (　　)

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D
解：将y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1－的图象，选项B符合题意．故选B.
()函数y＝的图象大致是 (　　)

　　　　A　　　　 　　　　B

　　　　C　　　　　 　　　D
解：由题意，函数在(－∞，－1)，(0，1)上的函数值为负，在(－1，0)，(1，＋∞)上的函数值为正，仅选项A符合．故选A.
()已知函数f(x)的部分图象如图所示，若不等式－2
解：由图象可知x＋t的范围是(0，3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1.故填1.
()已知函数f(x)＝ 的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是________．

解：先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1(－1≤x<0)的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2(0≤x≤a)的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0

类型一　作图
　作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．

①　 　　②
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)因为y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.

③　　 　④
(4)y＝ 其图象如图④.

点　拨：
画函数图象的一般方法：①直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．②图象变换法．若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

　作出下列函数的图象：
(1)y＝|x2－4x＋3|；
(2)y＝；
(3)y＝10|lgx|.
解：(1)先画出函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图①.
(2)y＝＝2－，可由y＝－的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②.
(3)y＝10|lgx|＝如图③所示．

①　 ② ③

类型二　识图
　(1)()设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数是(　　)

A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
解：图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f(－|x|)的图象．故选C.

(2)()函数y＝2|x|sin2x的图象可能是
(　　)

　　　 A　　　　　　　　　　　　B

　　　 C　　　　　　　　　　　　D
解：函数y＝2|x|sin2x是奇函数，故排除A，B选项．不论x取何值，2|x|始终大于0.当x∈时，sin2x>0，故y＝2|x|sin2x>0，图象在x轴的上方；当x∈时，sin2x<0，故y＝2|x|sin2x<0，图象在x轴的下方，选项D符合．故选D.
(3)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

　　　 A　　　　 　　　　　　　B

　C　　　　　　　　　　　D
解：当x＝1时，y＝<0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；当x＝－时，y＝<0，排除C.故选B.

点　拨：
抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题．
　　
　(1)已知图①中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数可能为(　　)

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
解：y＝f(－|x|)＝故选C.
(2) 已知定义域为[0，1]上的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是(　　)


　　　　A　　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　D
解：f(－x＋1)＝f[－(x－1)]，先将f(x)的图象沿y轴对折得到f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数f(－x＋1)的图象，只有选项B符合．故选B.

(3) 若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则y＝loga(x＋k)的图象是 (　　)

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D
解：由函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，得f(0)＝0，即k＝2.又f(x)是减函数，得0 类型三　用图
　(1)已知f(x)＝ 则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解：由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象．

由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．故填5.
(2)()已知实数a，b，c，2a＝－log2a，＝－logb，＝c－，则(　　)
A．b>c>a B．c>b>a
C．b>a>c D．c>a>b

解：由题意可知，a是函数y＝2x与y＝logx的交点的横坐标，b是函数y＝与y＝log2x的交点的横坐标．c是y＝与y＝的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y＝2x，y＝ logx，y＝，y＝log2x，y＝x－的图象，结合图象，得b>a>c.故选C.
(3)()f(x)是定义在区间[－c，c](c>2)上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是 (　　)

A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称
B．若a＝1，0 C．若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称
D．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根
解：当a<0，b≠0时，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函数，不关于原点对称，排除A.当a＝－2，b＝0时，g(x)＝－2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，排除C.当a≠0，b＝2时，g(x)＝af(x)＋2，当g(x)＝0时，有af(x)＋2＝0，所以f(x)＝－，从图中可以看到，当且仅当－2<－<2时，f(x)＝－有三个实根，所以g(x)＝0不一定有三个实根，排除D.当a＝1，00，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0，所以存在x∈(2，c)，有 g(x)＝0，故B正确．故选B.

点　拨：
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．其主要应用见“名师点睛”栏．
　　
　(1)()已知函数f(x)＝[x]－x([x]表示不超过x的最大整数，如[－3.6]＝－4，[2.1]＝2)，则方程f(x)＋lgx＝0的根的个数为
(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
解：方程f(x)＋lgx＝0的根的个数就是函数y＝x－[x]与y＝lgx图象交点的个数，函数y＝x－[x]是周期为1的周期函数，在同一个坐标系中作出这两个函数图象，如图所示，

可知它们共有8个交点，所以方程f(x)＋lgx＝0有8个实根．故选A.
(2)若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有 (　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

解：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，当x>0时，y＝x2－4x，关于原点对称的点的集合为y＝ －x2－4x(x<0)．由题意可得，函数f(x)的“和谐点对”数即为函数y＝ex(x<0)与函数y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．故选B.
(3)()设函数y＝，关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；
②任意两点的连线都不平行于y轴；
③关于直线y＝x对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．(填写所有正确命题的编号)


解：y＝＝＝2＋，图象如图所示，x＝2及y＝2是其渐近线，则①不正确，②正确．y＝2＋由y＝向右、向上平移2个单位得到，由y＝关于y＝x对称知③正确，④不正确．故仅②③正确．故填②③.

1．涉及函数图象问题的主要考查形式
(1)知图选(求)式．
(2)知式选(作)图．
(3)图象变换．
(4)图式结合等．
对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”．
2．识图与用图
(1)识图：对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．
(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．
函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期；⑫求参数范围等．
3．图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．
(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．

1．()函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是 (　　)

　　　A　　　　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　　　　D
解：由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当01时，y>0，只有选项B符合．故选B.
2．()函数f(x)＝－x4＋x2＋2的图象大致为 (　　)
　　　　　
　　　　A　　　　　　　　　　　B
　　　　　
　　　　C　　　　　　　　　　 D
解：f′(x)＝－4x3＋2x，f′(x)＞0的解集为∪，f′(x)＜0的解集为∪，由此可知仅D项与f(x)的单调性吻合．故选D.
3．()函数y＝的部分图象大致为 (　　)

　　A　　　　　　　 　　　B

　　C　　　　　　　　　　 D
解：令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B；因为f＝＝0，f＝＝<0，所以排除A；又f(π)＝＝0，所以排除D.故选C.
4．()已知函数f(x)＝xa，g(x)＝ax，h(x)＝logax(其中a>0，a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是 (　　)

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D
解：对于A，其中指数函数的底数大于1，而幂函数的指数小于0，故A不对；对于B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也大于1，故B对；对于C，其中指数函数的底数大于1，而对数函数的底数小于1，故C不对；对于D，其中幂函数的指数大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．综上，B正确．故选B.
5．()某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是 (　　)


　　　　A　　　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　　D
解：因为气温图象在前6个月的图象大致关于点(3，0)对称，所以C(6)≈0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；因为该年的平均气温为10℃，所以t＝12时，C(12)＝10，排除B；仅选项A符合．故选A.
6．()若函数f(x)＝的图象如图所示，则实数m的取值范围为
(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1，2)
C．(0，2) D．(1，2)
解：根据图象可知，函数图象过原点，即f(0)＝0，所以m≠0.当x>0时，f(x)>0，m≥2显然不满足，所以2－m>0，即m<2.函数f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，f′(x)＝＝>0，因为m－2<0，所以只需要x2－m<0在[－1，1]上恒成立，所以m>1，综上所述，1

7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(x)的定义域是________．
解：当f(x)>0时，函数g(x)有意义．由函数y＝f(x)的图象知当x∈(2，8]时，满足f(x)>0.故填(2，8]．
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

解：如图，作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此实数a的取值范围是 [－1，＋∞)．故填[－1，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数y＝f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

(2)因为f(x)＝x|4－x|＝
函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象知f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|04}．
10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，所以y＝f(x)＝x＋ (x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.
因为g(x)在(0，2]上为减函数，所以1－≤0在(0，2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝

(1)求函数f(x)在[－2，4]上的解析式；
(2)若方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a的取值范围．
解：(1)当－2≤x≤4时，
函数f(x)＝

(2)作出函数f(x)在区间[－2，4]上的图象如图．设y＝x＋a，方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a的取值范围是－2 ()已知函数f(x)＝ 若|f(x)|＋a≥ax，则a的取值范围是________．


解：由|f(x)|＋a≥ax得|f(x)|≥ax－a，作出y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a，如图所示．设x≤1时，h(x)＝|f(x)|＝x2－4x＋3，设过点A(1，0)的函数h(x)图象的切线斜率为k，则k＝h′(1)＝2×1－4＝－2.由图可知，当－2≤a≤0时，|f(x)|的图象在直线y＝ax－a上方，即|f(x)|＋a≥ax成立．所以a的取值范围是 [－2，0]．故填[－2，0]．