高考数学(理数)一轮复习学案2．6《对数函数》(含详解)

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2．6　对数函数


1．对数
(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的________________，记作x＝________________.其中a叫做对数的，N叫做________________．
(2)两类重要的对数
①常用对数：以________________为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________________；
②自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把logeN记作________________．
注：(i)无理数e＝2.718 28…；
(ii)负数和零没有对数；
(iii)loga1＝________________，logaa＝________________.
(3)对数与指数之间的关系
当a＞0，a≠1时，ax＝Nx＝logaN.
(4)对数运算的性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(MN)＝________________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________________；
一般地，logamMn＝________________；
(5)换底公式及对数恒等式
①对数恒等式：alogaN＝________________；
②换底公式：logab＝________________ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝________________.
2．对数函数的图象及性质
定义
一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1



定义域
____________
值域
____________
性
质
过定点___________
在(0，＋∞)上是_______
在(0，＋∞)上是_______
3.对数函数与指数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数 y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．

自查自纠：
1．(1)对数　logaN　底数　真数
(2)①10　lgN　②e　lnN　(iii)0　1
(3)⇔
(4)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　
③nlogaM　logaM
(5)①N　②　
2．(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数
3．y＝x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
log535＋2log－log5－log514的值为
(　　)
A. B．2 C．3 D．4
解：原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.故选B.
() 已知a＝log2e，b＝ln2，c＝ log，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解：由题意结合对数函数的性质可知：a＝log2e>1，b＝ln2＝∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e.据此可得c>a>b.故选D.
()根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg3≈0.48) (　　)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解：设x＝＝，两边取对数，lgx＝lg＝lg3361－lg1080＝361×lg3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即最接近1093.故选D.
()已知函数f(x)＝ ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
解：由题意得f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝－2.故填－2.
()已知函数f(x)＝|lgx|，若0
解：画出y＝|lgx|的图象如图．因为01，所以－lga＝lgb，所以ab＝1，所以2a＋b≥2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立．故填[2，＋∞)．

类型一　对数的化简与求值
　(1)已知3a＝4b＝，则＋＝(　　)
A. B．1 C. D．2
解：因为3a＝4b＝，所以a＝log3，b＝log4，＝，＝，所以＋＝＋＝＝2.故选D.
(2)求值：＝________.
解：＝＝－4.故填－4.
(3)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________，用m，n表示log46为________．
解：因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝＝＝.故填12；.

点　拨：
对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．
　　
　(1)()已知函数f(x)＝ 则f(2＋log23)的值为
(　　)
A．24 B．16 C．12 D．8
解：因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝ f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.故选A.
(2)()已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解：设logba＝t，则t＞1，由＋t＝⇒t＝2⇒a＝b2，由ab＝ba⇒b2b＝bb2⇒2b＝b2⇒b＝2，a＝4.故填4；2.
(3)方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为________．
解：设t＝3x－1，则原方程为log2(t2－5)＝log2[4(t－2)]，该方程等价于 解得t＝3，所以3x－1＝3，得x＝2，故原方程的解为2.故填2.
类型二　对数函数的图象及应用
　(1)()若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

　　　　 A　　　　　　 　 B

　　　　 　C　　　　　　　　 D
解：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.
(2)()函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为 (　　)
A．2 B．4 C. D.
解：由函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：当x＝－2时，y＝－1，所以点A的坐标为(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，又m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以＋的最小值为.故选D.
(3)()已知函数f(x)＝ 且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

解：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．故填(1，＋∞)．

点　拨：
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
　　
　(1)()在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)

　　　　A　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　D
解：B中f(x)图象与x轴交点横坐标>2，则01，g(x)单调递增，矛盾，排除，仅A正确．故选A.
(2)已知0＜m1＜2＜m2，a＞0，且a≠1，若logam1＝m1－1，logam2＝m2－1，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(2，3) B．(0，1)
C．(1，2) D．(3，4)

解：依题意，知方程式logax＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数y＝logax与y＝x－1的图象，显然a＞1，由图可知m1＝1，要使m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2.综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2.故选C.
(3)()当0 A. B.
C．(1，) D．(，2)

解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时 4x>0，logax<0，不满足条件，当0，所以a的取值范围为.故选B.
类型三　对数函数的性质及应用
　(1)()已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．b＜a＜c
解：a＝log25＞2，b＝log5(log25)∈(0，1)，c＝ ∈(1，2)，可得b＜c＜a.故选B.
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　　)
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解：当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.故选D.
(3)函数f(x)＝log2· (2x)的最小值为________．
解：f(x)＝log2x·[2 (log2x＋1)]＝(log2x)2＋log2x＝－(x>0)，所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－.故填－.

点　拨：
在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正．
　　
　(1)()设a＝log0.20.3， b＝log20.3，则 (　　)
A．a＋b C．a＋b<0 解：因为a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以＝log0.30.2，＝log0.32，＋＝log0.30.4，所以0<＋<1，即0<<1.又因为a>0，b<0，所以ab<0，即ab (2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解：由题意可得或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
(3)设a，b，c均为正数，且2a＝loga，＝ logb，＝log2c，则 (　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解：因为a＞0，所以2a＞1，所以loga＞1，所以0＜a＜.又因为b＞0，所以0＜＜1，所以 0＜logb＜1，所以＜b＜1.又因为＞0，所以 log2c＞0，所以c＞1，所以0＜a＜＜b＜1＜c.故选A.
类型四　对数函数的综合问题
　已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
解：(1)由f(x)的定义域为R，
知x2－2ax＋3＞0的解集为R，
则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
所以a的取值范围为(－，)．
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒ a≤－或a≥.
所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，
知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，
因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，
所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，
即 解得－2＜a＜－1；
当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜.
综上可知，a的取值范围为(－2，)．
(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，
又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，
则有u(x)min＝3－a2＝2，
解得a＝±1.

点　拨：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用．

　(1)()已知函数f(x)＝log(x2－ax＋a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解：令t(x)＝x2－ax＋a，则由函数f(x)在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，且t(2)≥0，所以 解得a≤4，所以实数a的取值范围是a≤4.故填(－∞，4]．
(2)()若函数 f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[2， ＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解：当x≤2时，f(x)≥＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x>2且a>1时，f(x)>loga2，即函数的值域为(loga2，＋∞)，由(loga2，＋∞)⊆[2，＋∞)，得loga2≥2，解得12且0 (3)()已知函数f(x)＝ g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________．

解：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即 f(x)max≤g(x)min，由y＝f(x)的图象(如图)可知，当x＝时，f(x)取最大值，且f(x)max＝；因为g(x)＝ |x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|，所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.故填∪.
　　
　已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设t(x)＝3－ax，则t(x)是关于x的一次函数，
从而 所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，
所以a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以 即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

点　拨：
①确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．②如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．③在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．④在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
　　
　()已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，所以log44x＝－4kx，所以x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－.
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4，因为2x＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以m≥log42＝.故要使方程f(x)＝m有解，实数m的取值范围为.

1．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．
2．比较两个对数的大小的基本方法
(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．
(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
3．作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1)．

　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．计算：÷＝(　　)
A．1 B. C．－10 D．－20
解：原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg× 10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.故选D.
2．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

A　　　 B　　　　 C　　　 　 D
解：因为lga＋lgb＝0，所以ab＝1，所以 g(x)＝－logbx＝logax，故f(x)与g(x)的单调性相同．故选B.
3．()若a>b>0，0 A．logac C．accb
解：因为0 4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)的值为 (　　)
A．1 B. C．－1 D．－
解：由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4 5．()设函数f(x)＝ log(x2＋1)＋，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为 (　　)
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
解：因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝ log(x2＋1)＋＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t＝log2x，则logx＝－t，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1.又因为f(1)＝log2＋＝1，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈.故选B.
6．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝ log6(a＋b)，则＋的值为 (　　)
A．36 B．72 C．108 D.
解：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.故选C.
7．计算log89×log6432÷log23＝________.
解：原式＝log23×log22×log32＝.故填.
8．若函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解：当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以 解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]．故填(1，2]．
9．()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(0)＝0＞f(4)＝－2.
所以|x2－1|<4，解得－ 即不等式的解集为(－，)．
10．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝ loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解：由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]＝－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又因为x∈[2，8]，所以a∈(0，1)．
因为f(x)是关于logax的二次函数，
所以函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得，
若－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，
x＝(2－)－＝∉[2，8]，舍去.
若－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2，8]，
符合题意，所以a＝.
11．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝(f(x)＋1)·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，从而k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为________．
解：由已知f(x)＝logax，
当00，
当a>1时，－|f(2)|＝－loga－loga2＝ －loga>0，故>|f(2)|总成立．

作y＝|f(x)|的图象如图(上述结论也可由图象给出)．
要使x∈时恒有|f(x)|≤1，只需≤1，即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa，
当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0 综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．故填∪[3，＋∞)．