2022年山西省运城市中考数学二模试卷（含解析）

2022年山西省运城市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C. ． D.

2. 中国作为全球第二大经济体，规模和美国保持着相对接近的水平，年我国总量已经达到了万亿美元，足足有日本的倍多，将万亿美元用科学记数法可表示为(    )

A. 美元 B. 美元
C. 美元 D. 美元

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，点是的外心三角形三边垂直平分线的交点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

5. 如图，一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，李老师在求方程组的近似解时，先在平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象，接着观察这两个函数图象的交点坐标，然后得出该方程组的近似解，李老师的这种方法运用的主要数学思想是(    )

A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 整体思想 D. 数形结合思想

7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 如图，在矩形中，点是上一点，点是上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，已知，，，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，反比例函数的图象经过上一点，与相交于点，若，的面积为，则的值是(    )

A. ．
B. ．
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 不等式组的解集为______．
12. 一组按规律排列的式子，，，，，则第个式子是______．
13. 体育承载着国家强盛，民族振兴的梦想，“双减”落地助力体育锻炼的升温，下面是某同学假期中间连续天每天用于体育锻炼的时间单位：分钟：，，，，，已知这组数据的平均数是分钟，则这组数据的中位数是______分钟．
14. 如图，在正六边形的左边以为边作正五边形，连接，则，则的度数为______．

15. 如图，在矩形中，为边上一点，，且，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：；
    下面是小华同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
    
    第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    任务一：填空：以上化简步骤中，第二步是进行分式的约分，约分的依据是______．
    第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
    任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______．
17. 自年月以来．新型冠状病毒导致的肺炎疫情在全球蔓延流行，进入年，新一轮的疫情爆发又波及校园，严重危及师生的身心健康，为此某校师生举行了“疫情防控大演练”活动，并学习了当前疫情防控的主要措施，包括：远离感染源区；加强自我防控；增强身体体质；合理健康饮食；加强防控意识五个要点，为了了解学生对“五要点”的掌握情况，从全校随机抽取了一部分学生作出调查，并根据学生的回答情况、仅能答出一点；、仅能答出两点；、能回答其中三点；、能回答其中四点；、能回答全部五点，绘制出下面两幅不完整的统计图，请根据统计图上的信息解答下列问题：
    在这次调查中抽取的总人数为______人．
    在扇形统计图中“”部分值为______．
    该学校共有学生人，估计能回答全部五个要点的人数约有多少人？
    针对本次学习，学校准备组织一次疫情防控知识竞赛，要求每个班级选取两名同学参赛，小明和小颖所在的九年级某班共选出名候选人，除小明和小颖之外还有另外名同学，从这四人中随机选取两个人参加比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中小明和小颖两人的概率这名学生分别用，，，表示，其中，分别代表小明和小颖．
     

18. 关公是山西运城的名片，在解州常平关公故里的南山上有一尊世界上最高的关公铜像．它静静耸立在中条山间，远眺着河东大地，护佑着运城万民．数学实践小组想利用所学知识测量关公铜像的高度，下面是他们测量得到的相关数据：如图，他们在坡脚测得铜像顶端的仰角，然后沿坡面行走了一段距离到达处，发现垂直距离升高了米即点到的垂直距离为米，在处测得铜像顶端的仰角，已知，点，，，，，均在同一平面内，，为地平线，请你根据以上数据，利用所学知识求出关公铜像的高度．参考数据：，，

19. 滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长米的路边进行绿化，绿化米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成绿化任务．
    求原计划每天绿化多少米？
    该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？

20. 阅读下列材料，并按要求解答相关问题：
    【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧直径的两个端点除外”这一正确的结论．
    如图，若是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点组成的图形是定边为直径的直径两端点、除外．
    【初步应用】已知：如图，四边形是边长为的正方形，点从点出发向点运动，同时点从点出发以相同的速度向点运动，连接，相交于点．
    当点从点运动到点的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数．
    当点从点运动到点的过程中，点运动的路径是______．
    A、线段
    B、弧
    C、半圆
    D、圆
    点运动的路经长是______．
    【问题拓展】已知：如图，在图的条件下，连接，请直接写出、运动过程中，的最小值．
     

21. 如图，是的直径，点是上的一点，连接，过点作交于点，过点作的切线，交的延长线于点，于，连接．
    求证：；
    如图，在图的条件下，若点为半圆的中点，连接交于点，求的度数．
     

22. 如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕，连接，如图
    问题解决：
    试判断图中是什么特殊的三角形？并说明理由；
    如图，在图的基础上，与相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，求的值．
     

23. 如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交轴于点，以为斜边，在的右侧作等腰直角．
    求抛物线的表达式，并直接写出直线的表达式；
    设点的横坐标为，在点运动的过程中，当等腰直角的面积为时，请求出的值；
    连接，该抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以比小的数是其他数都大于．
故选：．
比小的数可借助于数轴更容易求得．左边的数都比右边的数小．
本题考查的是实数的大小比较，解题的关键是会方法，可借助数轴，可直接比较大小．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿美元美元美元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C不符合题意；

，
选项D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方和积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了二次根式的加减法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方和积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
 

4.【答案】 

【解析】解：点是的外心，
，
，
，
故选：．
利用三角形的外心及圆周角定理可得，进而可求解．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟记性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，由图形中所标识的数据可知，
在俯视图中，，是正三角形，过点作于，
，
，
即左视图中的的值为，
故选：．
根据三视图的定义以及正三角形的性质进行计算即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状以及正三角形的性质是解决问题的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，利用两个函数图象的交点坐标，得出该方程组的近似解，这种方法运用的主要数学思想是数形结合，
故选：．
根据数学思想方法结合题意进行判断即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握数学思想方法的内涵是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：将矩形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据折叠的性质可得，，由可以求出的度数，再根据平行线的性质求出和的度数，最后根据平角的定义可以求出的度数．
本题考查平行线的性质和图形的翻折变换，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，即可算出扇形的面积，根据，，，即可算出，的长，则可算出的面积，根据旋转的性质可得的面积等于的面积，算出扇形的面积，则根据面积差即可算出阴影部分的面积．
本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，熟练掌握扇形面积的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
∽，
，
，
点和在反比例函数图象上，
和的面积为，
，
解得：．
故选：．
过点作于点，构造型相似，和的面积为，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键是熟知：反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与两轴围成的矩形面积相等，并且等于．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，，，
第个式子为，
故答案为：．
通过观察发现，所给式子中每个单项式的指数的规律为，由此求解即可．
本题考查数字是变化规律，通过观察，找到式子的指数的规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，
解得，
所以这组数据为、、、、、，
则这组数据的中位数为分钟，
故答案为：．
先根据算术平均数的定义列式求出的值，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义求解即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，五边形是正五边形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据多边形内角和公式求解即可．
此题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，

在矩形中，
，
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，，
则，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作延长线于点，过点作于点，根据矩形的性质证明≌，可得，根据，设，，则，设，，，，所以，可得，求出，根据勾股定理可得，所以，可得，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
 

16.【答案】分式的基本性质  三  通分时漏掉了分母  

【解析】解：原式

；
任务一：约分的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
第三步开始出现错误，错误的原因是通分时漏掉了分母，
故答案为：三，通分时漏掉了分母；
任务二：原式

．
故答案为：．
根据绝对值，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算即可；
任务一：根据约分的依据是分式的基本性质即可得出答案；
第三步开始出现错误，错误的原因是通分时漏掉了分母；
任务二：接着计算出正确答案即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，掌握，是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为人，
故答案为：；
，即；
故答案为：．
估计能回答全部五个要点的人数约有人；
画树状图得：

一共有种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有种，
恰好选中小明和小颖两人的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得总人数；
用类别人数除以总人数可得的值，继而得出答案；
用总人数乘以样本中类别人数所占比例即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，其中小明和小颖参加同一项目的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
 

18.【答案】解：延长交于，交于，过点作于，
则四边形为矩形，
米，，
设米，
在中，，米，
则米，
米，
在中，，
则米，
，
，即，
解得：，
米，米，
米，
答：关公铜像的高度约为米． 

【解析】延长交于，交于，过点作于，根据正切的定义求出、，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：设原计划每天绿化米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天绿化米；
设提高工作效率后每天支付给工人的工资总额增长元，
天，
根据题意，得，
解得，
答：提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长元． 

【解析】设原计划每天绿化米，根据“结果共用天完成绿化任务”列分式方程，求解即可；
设提高工作效率后每天支付给工人的工资总额增长元，根据“完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过元”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：【初步应用】的大小不变，，理由如下：如图，

、以相同的速度运动，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
，
点为以为直径的圆上的动点，
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，点在对角线，的交点，
点运动的路径是个以为直径的圆，
故答案为：；
点运动的路径是个以为直径的圆，
点运动的路径，
故答案为：；
【问题拓展】如图，由于点运动的路径是以的中点为圆心的个圆，故连接交弧于点，此时，的长最小，

，
，
，
，
的最小值为．
【初步应用】由题意及正方形的性质得出，，，进而证明≌，得出，继而得出；
由，得出点为以为直径的圆上的动点，当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点在对角线，的交点，得出点运动的路径是个以为直径的圆，即可得出答案；
利用弧长公式进行计算，即可得出答案；
【问题拓展】由于点运动的路径是以的中点为圆心的个圆，故连接交弧于点，此时，的长最小，求出，利用勾股定理求出，即可求出的最小值为．
本题考查了圆的综合应用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算公式，勾股定理等知识是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：是的切线，
，
．
，
．
．
，
．
．
，，
，
．
在和中，
，
≌．
；
解：连接，如图，

为半圆的中点，
，
．
，
．
．
由知：≌，
．
．
，
．
，
． 

【解析】利用切线的性质定理和全等三角形的判定定理和性质定理解答即可；
连接，利用圆周角定理，三角形的内角和定理和的结论解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，连接利用圆周角定理解答是解题的关键．
 

22.【答案】解：等边三角形．
理由：由折叠可知：垂直平分，，
，
，
为等边三角形．
取的中点，连接，则，

由折叠可知：，
是的中位线，
，
：：，
为的中点，
，
，
． 

【解析】根据折叠的性质可得：垂直平分，，再利用垂直平分线的性质可得，进而可证明为等边三角形；
取的中点，连接，则，利用三角形的中位线可得，结合平行线分线成比例定理可得，进而可求解．
本题考查等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，掌握等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理是解题关键．
 

23.【答案】解：把，分别代入中，
则，
解得，
抛物线的表达式为；
令则，
，
设直线解析式为，
把代入解析式得，，
解得：，
直线解析式为；
点的横坐标为，
，，
，
过点作于，

是等腰直角三角形，为斜边，
，
，
，
，
，
解得：，，
又，
；
存在，理由如下：由得为等腰直角三角形，
，
如图，当点在的上方时，设与轴交于一点，

，
，
，，
≌，
，
，
设直线解析式为，
则，
解得：，
直线解析式为，
则，
解得：或舍去，
此时点的坐标为；
如图，当点在的下方时，
过作轴的垂线，过作轴的垂线，两条垂线交于一点，作，交抛物线与点，

由得为等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
又，
，
四边形正方形，
，
≌，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
则，
解得或舍去，
；
综上所述，点坐标为或 

【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点坐标，然后利用待定系数法求直线的表达式即可；
设出，，然后根据两点间距离公式表示出长，再根据等腰三角形的性质列出的面积表达式，结合面积为建立方程求解，即可解决问题；
分点在的上方和点在的下方两种情况讨论，根据题意画出图形，构造三角形全等，求出直线上的一点坐标，则可利用待定系数法求出直线的解析式，最后和抛物线的解析式联立求解，即可求出点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的动态几何问题，二次函数与面积的综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，解题的关键是能够综合运用所学的数学知识解决问题．