北京市延庆区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市延庆区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共33页。试卷主要包含了已知，解分式方程，当x=﹣1时，求代数式的值，列方程解应用题，尺规作图等内容，欢迎下载使用。
北京市延庆区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京延庆·八年级期末）计算：（1）；
（2）.
2．（2022·北京延庆·八年级期末）已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．

3．（2022·北京延庆·八年级期末）解分式方程：.
4．（2022·北京延庆·八年级期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么.
（3）请写出正确解答过程.
5．（2022·北京延庆·八年级期末）当x=﹣1时，求代数式的值．
6．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．

(1)依题意补全图形；
(2)判断△ADE的形状，并证明．
7．（2022·北京延庆·八年级期末）列方程解应用题：
第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．北京冬奥会的配套设施“京张高铁”——北京至张家口高速铁路，已经全线通车，全长约175千米．原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小时到达，求京张高铁的平均速度．
8．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．

(1)计算线段AB的长度 ；
(2)判断△ABC的形状 ；
(3)写出△ABC的面积 ；
(4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
9．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．

10．（2022·北京延庆·八年级期末）尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．

小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：

④根据示意图，确定作图顺序．

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

11．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．

(1)依题意补全图形；
(2)猜想EF和EG的数量关系并证明；
(3)求证：ED＋EF＝2EM．
12．（2021·北京延庆·八年级期末）计算：．
13．（2021·北京延庆·八年级期末）计算： ．
14．（2021·北京延庆·八年级期末）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．

15．（2021·北京延庆·八年级期末）解分式方程：．
16．（2021·北京延庆·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
17．（2021·北京延庆·八年级期末）北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？

18．（2021·北京延庆·八年级期末）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）
①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；
②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．
19．（2021·北京延庆·八年级期末）我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 ；
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为 ；
（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值．
20．（2021·北京延庆·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边BC上的两点，AD＝AE，点E关于直线AC的对称点是点M，连接AM，DM；
（1）如图1，当∠BAC＝60°时；
①依题意补全图形；
②若∠BAD＝，则∠AEB＝ ；（用含的式子表示）；
③求证：DA＝DM；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC，EC，AM之间的数量关系，并证明．

21．（2019·北京延庆·八年级期末）计算：．
22．（2019·北京延庆·八年级期末）计算：（1）．
（2）．
23．（2019·北京延庆·八年级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l异侧，AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF.

24．（2019·北京延庆·八年级期末）解方程：
25．（2019·北京延庆·八年级期末）先化简，再求值，其中.
26．（2019·北京延庆·八年级期末）已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．

（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
27．（2019·北京延庆·八年级期末）小明与小志要到延庆冬奥综合训练馆参加滑冰训练，他们约定从德胜门出发自驾前往，但他们在选择路线时产生了分歧．根据导航提示小明选择方案1前往，小志选择方案2前往，由于方案1比方案2的路线长，而小明还想大家一起到达．已知小明的平均车速比小志的平均车速每小时快8千米，请你帮助小明算一算，他的平均车速为每小时多少千米，他们就可以同时到达？

28．（2019·北京延庆·八年级期末）已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且 AB=6，点C在射线AN上．

（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有 个；
（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时，  直接写出的取值范围．
29．（2019·北京延庆·八年级期末）动手操作(尺规作图) 已知: 如图线段a，线段b， ．求作：△ABC，使得BC=a，∠ABC=α，△ABC的平分线BD=b．

小园是这样思考的：先画一个草图进行分析，如图1所示，经过分析，小园发现了一个可以确定的三角形 ，确定这个三角形的依据是 . 这样基本上就算是完成尺规作图的分析了. 请你用尺规作图法将小园没有做完的完成（在图2中完成即可）：

30．（2019·北京延庆·八年级期末）大家都玩过“石头、剪刀、布”的游戏吧？要求参与游戏的人同时做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”， “布”胜“石头”，若手势相同，则不分胜负．如果两个人做这个游戏，随机出手一次，求两个人获胜的概率各是多少？
31．（2019·北京延庆·八年级期末）如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.

（1）补全图形；
（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.
32．（2019·北京延庆·八年级期末）规定：[m]为不大于m的最大整数；
（1）填空：[3.2]= ，[－4.8]= ；
（2）已知：动点C在数轴上表示数a，且－2≤[a]≤4，则a的取值范围；
（3）求方程4x-3[x]+5=0的整数解．

参考答案：
1．（1）；（2）
【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的意义进行化简，最后进行加法运算即可；
（2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可.
【详解】（1）
，
，
（2），
，
，
.
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
2．见解析
【分析】证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】∵BC∥FE，
∴∠1 ＝∠2
∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋CF．
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA） ．
∴AB＝DE．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，关键是证明三角形全等．
3．
【详解】试题分析：方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
试题解析：方程两边同时乘以，得
，
整理得： ，
得： ，
经检验：是原方程的解 ，
原方程的解为  .
4．（1）我选择甲同学的解答过程进行分析；（2）甲同学从第②步开始出现错误，错误的原因是对分式进行通分时，将分母乘以x+1,而分子没有乘以x+1；（3）,正确解答过程见解析.
【分析】（1）根据甲和乙的解答过程判别，选择擅长的即可；
（2）由分式加减运算法则和分式的基本性质求解；
（3）根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析（或者选择乙均可），
故答案为甲（答案不唯一）；
（2）甲同学在第②步计算错误，对分式进行通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1，
故答案为②，通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1；
（3）
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．
5．-,-.
【分析】直接利用分式的混合运算法则将原式化简，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式=
-
，
当x=时，
原式=﹣=．
【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
6．(1)见详解；
(2)△ADE为等边三角形，证明见详解．

【分析】（1）利用作∠ADE=∠B，作出∠ADE的边DE，利用同位角相等两直线平行得出DE∥BC；
（2）根据等边三角形性质∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线性质得出∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°即可
(1)
解：过点D作∠ADE=∠B，
∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，

(2)
解：△ADE为等边三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形
【点睛】本题考查作平行线，作一个角等于已知角，等边三角形性质与判定，平行线性质，掌握作平行线方法，作一个角等于已知角基本作图，等边三角形性质与判定，平行线性质是解题关键．
7．京张高铁的平均速度为175 km/h．
【分析】设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h，根据时间差为5h列出方程并解答．
【详解】解：设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h，
依题意得：，
解得x=35．
经检验，x=35是所列方程的根，并符合题意．
所以，km/h
答：京张高铁的平均速度为175 km/h．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．(1)
(2)直角三角形
(3)5
(4)图形见解析

【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；
（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；
（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可．
（1）

（2）
，
∴
∴△ABC的形状是一个直角三角形
（3）
由（2）可知△ABC是直角三角形
∴
（4）
图形如图所示：

【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．
9．1
【分析】由勾股定理可求CD＝1，由“AAS”可证△BFD≌△ACD，可得CD＝DF＝1．
【详解】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．   
在△ADC与△BDF中，

∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，   
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1      

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
10．（1）图见解析（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；（3）图见解析
【分析】（1）根据题意即可尺规作图进行求解；
（2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解；
（3）作PH⊥MN于H点，再作PH⊥PQ即可．
【详解】（1）如图1，PQ即为所求；

（2）证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）如图2，PQ为所求．


【点睛】此题主要考查尺规作图的运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行线的判定、垂直平分线的作法．
11．(1)见详解；
(2)EF=EG；理由见详解；
(3)见详解．

【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）由题意，得到EM垂直平分OD，则OE=DE，得到∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，由角平分线的定义，得∠AOC=∠BOC，再由三角形的外角性质，即可得到结论成立；
（3）在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，则ED＋EF =OH，然后有OD=2EM，再证明△ODG≌△OHG（AAS），得到OD=OH，即可得证．
（1）
解：根据题意，如图：

（2）
解：EF=EG；
理由如下：如图，

∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）
解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：

则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
12．
【分析】先根据二次根式化简，绝对值意义，立方根定义，二次根式性质化简，再计算即可．
【详解】解：
＝
＝
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的化简，实数的混合运算等知识，熟知相关知识是解题关键．
13．
【分析】先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减乘除运算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
14．见解析
【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，
∴∠DAC=∠BCE=120°，
在△ACD和△CBE中
，
∵AD=CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
15．．
【分析】方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得，
检验：当时，
∴原方程的根是．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．；
【分析】先化简分式得，再通过方程得，即得结果
【详解】解：
＝
＝
＝  
∵
∴原式=

【点睛】本题考查分式的化简求值，能得到分式准确的最简结果是解题的关键
17．km/h
【分析】根据驾车速度是骑自行车速度的4倍可以分别分别设出自行车速度为x，驾车速度为4x，根据两种交通方式的时间差为45分钟列分式方程解题即可．
【详解】解：设骑自行车的平均时速为km/h，则驾车的平均时速为km/h， 由题意
得：
       解得    
经检验：是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
       当时，
答：小李驾车的平均时速为km/h．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，难度一般，注意解分式方程时要检验，列方程时注意单位要化统一．
18．（1）画图见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；
（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明．
【详解】解：（1）如图所示：

（2）BD= DE.
证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠1=∠ABC ，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC=∠4，
∴∠1=∠4，
∵CE=CD ，
∴∠2=∠3，
∵∠4=∠2＋∠3，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴BD= DE．
【点睛】题目主要考查尺规作图作角平分线的方法、等腰三角形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
19．（1）与 ；（2） ；（3）1  ；（4）或
【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对(3，y)的一对“对称数对”表示出来，根据“数对(3，y)的一对“对称数对”相同”，可得y的值；
（3）先将数对(x，2)的一对“对称数对”表示出来，根据“数对(x，2)的一个“对称数对”是(，1)”，即可得出x的值；
（4）先将数对(a，b)的一对“对称数对”表示出来，根据“数对(a，b)的一个“对称数对”是(，)”分两种情况进行讨论，分别得出a，b的值，然后得出ab的值．
【详解】解：（1）由题意得m=，n=，
∴数对(9，3)的一对“对称数对”是与；
（2）由题意得m=，n=，
∴数对(3，y）的一对“对称数对”为与，
∵数对(3，y）的一对“对称数对”相同，
∴
∴；
（3）∵数对(x，2)的一对“对称数对”是与
而数对(x，2)的一个“对称数对”是（，1），
∴，
∴x=1；
（4）∵数对(a，b)的一对“对称数对”是与，
而数对(a，b)的一个“对称数对”是(，)，
∴①，解得
∴；
②，解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键．
20．（1）①见解析；② 60°＋；③见解析；（2）；见解析
【分析】（1）①根据题意可直接进行作图；
②由题意易得△ABC是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=AE，则有∠ADE=∠AED，然后问题可求解；
③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM，进而可得△ADM是等边三角形，然后问题可求证；
（2）由题意易证△DMC是直角三角形，则有，进而可证△ADM是等腰直角三角形，则有，从而等量代换即可求解．
【详解】（1）解：①由题意可得如图所示：

②解：∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AD=AE，∠BAD＝，
∴∠ADE=∠AEB=60°＋
故答案为60°＋；
③证明：由②可得∠BAD=∠EAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，
∵点E关于直线AC的对称点是点M，
∴AC垂直平分EM，
∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，
∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴DA＝DM；
（2）由题意可得如图所示：

线段DC，EC，AM之间的数量关系：
证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，
∴AC垂直平分EM，
∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAM=90°，
∴△DAM是等腰直角三角形，
∴，
∵AC垂直平分EM，
∴EC=CM，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ACM=45°，
∴∠MCD=90°，
∴在Rt△DMC中，，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键．
21．
【分析】直接利用零次幂的性质、二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可得到答案即可.
【详解】，
=
=
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键.
22．（1）；（2）-6
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可.
【详解】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
23．见解析
【分析】先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．
【详解】证明：∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠DEF（两直线平行，内错角相等）          
在△ABC和△DEF中
  
∴△ABC≌△DEF（ASA）
【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的性质，属于基础题.
24．x=1.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当 时，，
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
25．，3
【分析】首先将括号内的进行通分，再计算乘法，约分后得到，最后把代入求值即可.
【详解】
=
=
=
∵
∴原式=3×1=3．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
26．（1）见解析，AC⊥BD；（2）见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
【详解】（1）补图如下：

结论：AC⊥BD
（2）∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握并灵活应用性质是解答本题的关键．
27．68
【分析】设小志的平均车速为每小时x千米，则小明的平均车速为每小时(x+8)千米. 根据方案一所用的时间等于方案二所用的时间，列方程求解．
【详解】设小志的平均车速为每小时x千米，则小明的平均车速为每小时(x+8)千米. 根据题意得，

解得x=60
经检验，x=60是原方程的解，且符合实际问题的意义.
∴x+8=68
答：小明的平均车速为每小时68千米.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
28．（1）或；（2）3；（2）x =3或x≥6
【分析】（1）分∠ABC=90°和∠ACB=90°两种情形求解即可；
（2）当AB为底时，点C有1个，当AB为腰时，点C有两个，故可得解；；
（3）当BC≥3或BC=6时，△ABC唯一确定．
【详解】（1）当∠ABC=90°时，如图所示，

∵∠A=30°
∴BC=
∴设BC=x，则AC=2x
在Rt△ABC中，由勾股定理得

解得x=
∴AC=
当∠ACB=90°时，如图所示，

∵∠A=30°
∴BC=
∴AC=  
（2）当AB为腰时，等腰三角形有两个，如图，

当AB为底时，等腰三角形有1个，如图

∴△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个
（3）根据三角形三边关系可知，△ABC唯一确定时，由（1）、（2）得，BC=3或BC≥6.
故x=3或x≥6.
【点睛】本题考查解直角三角形、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．△DBC，SAS，见解析
【分析】作∠MBN=∠α，在BN上截取BC=a，作∠MBN的的平分线BP，截取BD=b，连接CD交BM于点A，则△ABC即为所求作.
【详解】经过分析，小园发现了一个可以确定的三角形△DBC，确定这个三角形的依据是SAS. 
如图所示.

【点睛】本题考查作图、复杂作图、角的平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图．
30．，
【分析】两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，于是根据概率公式可计算出两个人获胜的概率.
【详解】解：如下图

石头
剪刀
布
石头
石头 石头
石头 剪刀
石头 布
剪刀
剪刀 石头
剪刀 剪刀
剪刀 布
布
布 石头
布 剪刀
布 布

从表中可以看出，两个人每次随机出手，每个人获胜的概率都是
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
31．（1）见解析；（2）∠AEB=；（3）BC=，证明见解析.
【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD，再由BE=AB，可得∠AEB=∠BAE，然后利用三角形的内角和定理即可求得结果；
（3）设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图3，先利用轴对称的性推出∠BAH=∠CAH=α，再根据质余角的性质推出∠CBD=∠CAH=α，进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出∠F=45°，进而可得，然后根据AAS可证明△ABH≌△BEG，从而得BH=EG，而BC=2BH，进一步即可得出EF与BC的数量关系.
【详解】解：（1）补全图形如图1所示：

（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，
∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=；
（3）线段EF与BC的数量关系是：BC=.
证明：设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图2，
∵点B关于直线l的对称点为C，∠BAC=2α，
∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，
∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，
∴∠CBD=∠CAH=α，
∵∠AEB，∠AEB=∠CBD+∠F，
∴∠F=45°，则△EFG为等腰直角三角形，∴，
∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，
∴△ABH≌△BEG（AAS），
∴BH=EG，
∵BC=2BH，∴BC=2EG=.

【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、余角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确作出图形、熟练掌握上述知识是解题关键.
32．（1）3，-5；（2）；（3）x=-5.
【分析】（1）根据新定义可得；
（2）由－2≤[a]≤4，根据[a]为不大于a的最大整数，据此可得；
（3）整理方程得[x]=，根据定义得出x-1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由[x]= 是整数，设4x+5=3n（n是整数）得到x=，则-8＜≤-5，解得-9＜n≤-5，即可求得当n=-5，方程的整数解为x=-5．
【详解】（1）∵[m]为不大于m的最大整数，
∴[3.2]=3，[－4.8]=-5
（2）∵－2≤[a]≤4，[a]为不大于a的最大整数，
∴；
（3）整理得：[x]=
∴x-1＜≤x
解得不等式组的解集为：-8＜x≤-5，
∵[x]=是整数
设4x+5=3n（n是整数）
∴x=，
∴-8＜≤-5
解得不等式组的解集为：-9＜n≤-5，
∵n是整数
∴n为-8，-7，-6，-5，
∴当n=-5，方程的整数解为x=-5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答．