北京市西城区3年（2020-2022）七年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市西城区3年（2020-2022）七年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共36页。试卷主要包含了计算，先化简，再求值，平面上有三个点A，B，O，解下列方程，如图，，我们将数轴上点P表示的数记为等内容，欢迎下载使用。
北京市西城区3年（2020-2022）七年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京西城·七年级期末）计算：
（1）；
（2）
（3）
（4）
2．（2022·北京西城·七年级期末）先化简，再求值：，其中．
3．（2022·北京西城·七年级期末）平面上有三个点A，B，O．点A在点O的北偏东方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接AB，点C为线段AB的中点，连接OC．
（1）依题意补全图形（借助量角器、刻度尺画图）；
（2）写出的依据：
（3）比较线段OC与AC的长短并说明理由：
（4）直接写出∠AOB的度数．
4．（2022·北京西城·七年级期末）解下列方程：
（1）；
（2）
5．（2022·北京西城·七年级期末）如图，．，OA平分∠COE，．
（1）求∠DOE的度数（用含n的代数式表示）：请将以下解答过程补充完整．

解：∵，
∴．
∵．
．
∴ ．（理由： ）
∵，
∴．
∵OA平分∠COE，
∴∠ ＝．（理由： ）
∴___＝ °．
（2）用等式表示∠AOD与∠BOC的数量关系．
6．（2022·北京西城·七年级期末）某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个．
（1）这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？
（2）同学们打算用A，B两种不同的编结方式来制作这一批中国结，已知每个A型中国结需用红绳0.6米，每个B型中国结需用红绳0.9米，现有50米红绳，制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗？请说明你的理由．
7．（2022·北京西城·七年级期末）在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是－1，点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，M为线段AC的中点．

（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；
（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；
（3）若数轴上的点Q满足，求点Q表示的数．
8．（2022·北京西城·七年级期末）【阅读与理解】小天同学看到如下的阅读材料：
对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：
每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不是19的倍数．
以为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15，，．所以436不是19的倍数．
当数A的位数更多时，这种方法依然适用．

【操作与说理】
（1）当时，请你帮小天写出判断过程；
（2）小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A
A的表达式
第一次操作得到的和，记为M（A）
436
436＝10×43＋6
M（436）＝43＋2×6
532
532＝    
M（532）＝
863
863＝10×86＋3
M（863）＝86＋2×3
……
……
……

＝
M（）＝

（3）利用以上信息说明：当M（）是19的倍数时，也是19的倍数．
9．（2022·北京西城·七年级期末）小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．

请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度．
（1）画出图2对应的几何图形；
（2）设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形；
（3）如图4，已知，画∠MON的角平分线OP．
10．（2022·北京西城·七年级期末）我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为．．

（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝___；若点C是点A关于点B的“2星点”，则＝___：
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“－2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为，作点B关于点Q的“3星点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
11．（2020·北京西城·七年级期末）如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图．

（1）连接；
（2）作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
（3）作直线与射线交于点．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ．
12．（2020·北京西城·七年级期末）计算：
（1）；    （2）；
（3）；    （4）．
13．（2020·北京西城·七年级期末）先化简，再求值：，其中．
14．（2020·北京西城·七年级期末）解下列方程：
（1）；    （2）．
15．（2020·北京西城·七年级期末）解方程组：．
16．（2020·北京西城·七年级期末）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．

已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，．
求证：是的平分线．
证明：因为是的平分线，
所以．
（理由： ）
因为．
所以 ，
．
因为，
所以 ．
（理由： ）
所以是的平分线．
17．（2020·北京西城·七年级期末）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批，两种型号的新能源汽车据了解，辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．
（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的种型号的新能源汽车数量多于种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．
18．（2020·北京西城·七年级期末）数轴上有，两个点，点在点的左侧，已知点表示的数是，点表示的数是．
（1）若，则线段的长为 ；（直接写出结果）
（2）若点在线段之间，且，求点表示的数；（用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，点在数轴上点左侧，，，求的值．
19．（2020·北京西城·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
，
，
，
，
…，…
（1）第个等式中正整数的值是 ；
（2）第个等式是： ；
（3）第个等式是： ．（其中是正整数）
20．（2020·北京西城·七年级期末）下图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如编号为的拼块的面积为个单位．

现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用个种拼块，个种拼块，个种拼块，则拼出的正方形的面积为 个单位；
（2）在图和图中，各画出了一个正方形拼图中个种拼块和个种拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整．要求：所用的，，三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．

21．（2020·北京西城·七年级期末）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段的中点，若，则将e的值称为线段的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．
（1）若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是，则线段的相对离散度是________，线段的相对离散度是________；
（2）设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段的相对离散度为，求s的值；
（3）数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段的相对离散度为e1，线段的相对离散度为，当时，直接写出点R所表示的数r的取值范围．
22．（2019·北京西城·七年级期末）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC=AB，反向延长AB至D，使，点E是线段CD的中点.
（1）依题意补全图形；
（2）若AB的长为30，则BE的长为_____________

23．（2019·北京西城·七年级期末）计算：（1）       （2）
24．（2019·北京西城·七年级期末）计算：（1）     （2）
25．（2019·北京西城·七年级期末）先化简，再求值：，其中
26．（2019·北京西城·七年级期末）解方程：
27．（2019·北京西城·七年级期末）解方程组：
28．（2019·北京西城·七年级期末）已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余
求证：∠AOE与∠COE互补.

请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵∠COD与∠COE互余
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=_________°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD=∠________（理由：_______________）
∴∠BOE=∠COE（理由：________________）
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE互补
29．（2019·北京西城·七年级期末）某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0.如图1是某个学生的身份识别图案.约定如下：把第i行，第j列表示的数字记为（其中i，j=1，2，3，4），如图1中第2行第1列的数字=0；对第i行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字.如图1中，第二行，说明这个学生在5班.
（1）图1代表的学生所在年级是______年级，他的学号是_________；
（2）请仿照图1，在图2中画出七年级4班学号是36的同学的身份识别图案

30．（2019·北京西城·七年级期末）学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买5个篮球和10个足球需花费1150元，若买9个篮球和6个足球需花费1170元.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢该商店进行促销.所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和足球，恰好花费1760元.请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少.
31．（2019·北京西城·七年级期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍.点C在数轴上，M为线段OC的中点

（1）点B表示的数为____________
（2）若线段BM的长为4.5，则线段AC的长为___________
（3）若线段AC的长为x，求线段BM的长（用含x的式子表示）
32．（2019·北京西城·七年级期末）我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几）演变而来.到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”.而到了清代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形和平行四边形，能拼出更加生动、多样图案的七巧板就问世了（如图1网格中所示）

（1）若正方形网格的边长为1，则图1中七巧板的七块拼板的总面积为_____________
（2）使用图1中的七巧板可以拼出一个轮廓如图2所示的长方形，请在图2中画出拼图方法（要求：画出各块拼板的轮廓）
（3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图3所示的是另一种七巧板.利用图3中的七巧板可以拼出一个轮廓如图4所示的图形；大正方形的中间去掉一个小正方形，请在图4中画出拼图的方法（要求：画出各块拼板的轮廓）

33．（2019·北京西城·七年级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称

已知：如图2，在平面内，∠AOM=10°，∠MON=20°
（1）若有两条射线，的位置如图3所示，且，，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是_____________
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM=x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH=20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．


参考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘除计算法则求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据有理数的混合计算法则求解即可；
（4）根据有理数乘法分配律求解即可．
【详解】解：（1）

；
（2）


；
（3）


；
（4）



【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除计算，有理数乘法运算律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．，-1
【分析】先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：

，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，有理数的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3） ，理由见解析；（4）70°
【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解；
（3）利用刻度尺测量得： ，即可求解；
（4）用180°减去80°，再减去30°，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：

（2）在△AOB中，因为三角形的两边之和大于第三边，
所以；
（3） ，理由如下：利用刻度尺测量得： ，
AC=2cm，
∴；
（4）根据题意得： ．
【点睛】本题主要考查了方位角，三角形的三边关系及其应用，中点的定义，明确题意，准确画出图形是解题的关键．
4．（1）；（2）
【详解】解：（1），
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2），
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
5．（1）；同角的余角相等；；角平分线的定义；，；（2）
【分析】（1）根据同角的余角相等，角平分线的性质，角度的和差计算填写理由即可；
（2）根据题意分别表示出∠AOD与∠BOC，进而用等式表示∠AOD与∠BOC的数量关系．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵．
．
∴．（理由：同角的余角相等）
∵，
∴．
∵OA平分∠COE，
∴∠＝．（理由：角平分线的定义）
∴＝°
（2）

由（1）可知


【点睛】本题考查了同角的余角相等，角平分线的性质，角度的和差计算，数形结合是解题的关键．
6．（1）这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意列出一元一次方程解方程，进而求得做的这批中国结的个数；
（2）设A型中国结个，B型中国结个，列出等式，进而根据为正整数即可求得答案案
【详解】（1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意得：

解得
做的这批中国结有（个）
答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个．
（2）不能，理由如下：
设A型中国结个，B型中国结个，则需要红绳
整理得
因为是整数，所以也是整数，则不存在这样的的值
所以，制作这批中国结不能恰好用完这50米红绳
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
7．（1）M为1，C为3；图见解析；
（2）图见解析，是长为10的线段CD；
（3）Q表示
【分析】（1）点M在点B左侧距离为5，故用6-5=1；M为AC中点，因此C为3；
（2）与点B的距离小于或等于5的点组成的图形是一条长度为10的线段；
（3）设x，通过QA=建立等式，再解x，从而求出Q点表示的数,注意分Q点位于AC之间和Q点在A点左边两种情况建立方程求解．
【详解】（1）M为1，C为3，如图：

（2）如图：

图形特征是一条长度为10的线段CD．
（3）当Q在AC之间时：设Q点表示的数为x，则有x-(-1)=，解得x=
当Q在A点左边时：设Q点表示的数为x，则有-1-x=，解得x=
【点睛】本题考查数轴上的点的标注，掌握各点 之间数量关系是本题解题关键．
8．（1）532是19的倍数，过程见解析；（2），，，；（3）见解析
【分析】（1）利用题干信息中的方法直接操作再判断；
（2）根据的表达式进行填表即可，根据第一次操作得到的和进行补 即可；
（3）先将，，即可进行判断．
【详解】解（1），经过第一次操作得到57，经过第二次操作得到19，，所以532是19的倍数；
（2）补表如下：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A
A的表达式
第一次操作得到的和，记为M（A）
436
436＝10×43＋6
M（436）＝43＋2×6
532
532＝   
M（532）＝
863
863＝10×86＋3
M（863）＝86＋2×3
……
……
……

＝
M（）＝

（3），，
，
当M（）是19的倍数时，也是19的倍数，即是19的倍数，此时也是19的倍数．
【点睛】本题考查了整除问题，新定义问题，解题的关键是读懂题干信息，掌握题干中的判断方法，利用方法求解．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）用含60°的直角三角板和含45°的直角三角板组合即可得到答案；
（3）根据题中图2构造出15度角即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求：
   
（2）如图所示，即为所求；

（3）如图所示，即为所求；

【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
10．（1），；（2）存在，，理由见解析；（3）存在，最小值为15，相应点Q在点A，点B之间
【分析】（1）直接读懂定义，根据定义列出等式，求解即可；
（2）设经过秒后存在，则，求出，根据点D是点A关于点O的“－2星点”，得，求解即可；
（3）设点表示的数记为，其中（，且），表示出，
，再对的取值范围进行分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意：，
，
解得：，
，
，
解得：，
故答案是：，；
（2）存在，理由如下：
设经过秒后存在，则
，
，
若使得点D是点A关于点O的“－2星点”，
，
，
解得：；
（3）设点表示的数记为，其中（，且），
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
没有最小值；
当时，
，
，
，
最小值为15；
当时，
，
，
，
没有最小值；
综上所述：存在，最小值为15，相应点Q在点A，点B之间．
【点睛】本题考查了数上的动点问题，新定义问题，数轴上两点间的距离问题，一元一次方程，解题的关键是读懂题目中的定义，利用定义及分类讨论的思想进行求解．
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；依据：两点之间，线段最短
【分析】(1)根据线段定义解答；
(2)根据射线定义，作等量线段的方法解答；
(3)根据直线定义及射线定义解答．
【详解】（1）线段AB即为所求；
（2）射线AD及线段DE即为所求；
（3）点F即为所求，的依据是两点之间，线段最短．
．
【点睛】此题考查直线、射线、线段定义及作图，两点之间线段最短的性质，截取线段等于已知线段，正确理解语句是作图的关键．
12．（1）；（2）；（3）25；（4）-5．
【分析】（1）先写成省略加号的和的形式，再根据有理数的加法法则解题；
（2）先将除法统一成乘法运算，再同级运算从左到右，根据有理数的乘除法法则解题；
（3）根据乘法的分配律法则解题；
（4）先乘方，再乘除，最后计算加减，有括号的先计算括号内的，结合一个负数的绝对值等于这个数的相反数，据此解题．
【详解】解：（1）


（2）


（3）


（4）



【点睛】本题考查含有乘方的有理数的混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】首先去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案．
【详解】原式=

当时，
原式
【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
14．（1）；（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可解题；
（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可解题．
【详解】解：（1）．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为，得．
解：（2）．
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等步骤，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．．
【分析】先将，再式， 计算出的值，代入原式即可得到的值，进而得到方程组的解．
【详解】解：，
由得③，
由得，
将代入①，得，
解得，
所以，方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
16．见解析，角平分线的定义；；；，；等角的余角相等，
【分析】依据∠DOC=90°即可得到∠DOE+∠COE=∠DOA+∠BOC=90°，结合角平分线定义，根据等角的余角相等即可得出结论．
【详解】证明：因为是的平分线，
所以．
（理由：角平分线的定义）
因为．
所以，
．
因为，
所以．
（理由：等角的余角相等）
所以是的平分线．

【点睛】本题考查了角平分线的定义及等角的余角相等，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
17．（1），两种型号的汽车每辆进价分别为万元，万元；（2）购进型号的新能源汽车台，型号的新能源汽车台；购进型号的新能源汽车台，型号的新能源汽车台
【分析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元， 3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案 .
【详解】解：（1）设，两种型号的汽车每辆进价分别为万元，万元．
依题意，列出的方程组为
，
解这个方程组，得．
答：，两种型号的汽车每辆进价分别为万元，万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m