苏科版八年级上册第一章 全等三角形综合与测试巩固练习

这是一份苏科版八年级上册第一章 全等三角形综合与测试巩固练习，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一章 全等三角形 综合练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等
2、在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）
A. 1＜AB＜11 B. 4＜AB＜13 C. 4＜AB＜16 D. 11＜AB＜16
3、在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F；
②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
其中能判定△ABC≌△DEF的有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
4、根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A. AB=5，BC=6，∠A=70° B. AB=5，BC=6，AC=13
C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5、如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）

A. △ABC与△ABD不全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
6、如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）

A. a＋c B. b＋c C. a＋b－c D. a－b＋c
7、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8、如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（ ）

A. 6或 B. 2或6 C. 2或 D. 2或
二、填空题
9、如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是_____．（填SAS或AAS或HL）

10、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝____．

11、如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．

12、如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．

13、如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．

14、如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取点C、E，分别以点O为圆心，OC、OE长为半径作弧，交射线OB于点D、F；连接CF、DE交于点P．下列结论：①CE＝DF；②PE＝PF； ③△ODE≌△COF；
④点P在∠AOB的平分线上．其中正确的结论是_______．（填上正确的序号）

15、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．

16、如图，已知△ABC，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段AC上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_______cm/s．

三、解答题
17、如图，B、C、E三点同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．
（1）求证：BC=DE
（2）若∠A=40°，求∠BCD的度数．


18、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．


19、如图，AC、BD相交于点O， AB=AD，BC=CD．求证：AC⊥BD．


20、在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．
（1）求证：AC=BD；
（2）求证：∠APB＝∠AEB．


21、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．



22、数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
根据以下情境，解决下列问题：

作法：①在和上分别截取、，使．
②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
③作射线．则就是的平分线．
（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______．
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

步骤：①利用三角板上的刻度，在和上分别截取、，使．
②分别过、作、的垂线，交于点．
③作射线．则为的平分线．
（2）小聪的作法正确吗？请说明理由．





23、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：OE=OD；
（3）．猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明.







24、（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．








25、（1）观察理解：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．










26、（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．























第一章 全等三角形 综合练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等
【答案】C
【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．

2、在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）
A. 1＜AB＜11 B. 4＜AB＜13 C. 4＜AB＜16 D. 11＜AB＜16
【答案】C
【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，
∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10−6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．

3、在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F；
②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
其中能判定△ABC≌△DEF的有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【答案】B
【详解】解：①AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，不能根据判定△ABC≌△DEF；
②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能根据判定△ABC≌△DEF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根据判定△ABC≌△DEF；
④AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根据判定△ABC≌△DEF；
故能判定△ABC≌△DEF的有③④两组， 故选：B．

4、根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A. AB=5，BC=6，∠A=70° B. AB=5，BC=6，AC=13
C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
【答案】C
【详解】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故选C.

5、如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）

A. △ABC与△ABD不全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形判定方法即可判断；
【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，
故选：D．

6、如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）

A. a＋c B. b＋c C. a＋b－c D. a－b＋c
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴，，，∴．
∵，，，
∴≌，∴，．
∵，∴． 故选：C．

7、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个， 故选C．

8、如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（ ）

A. 6或 B. 2或6 C. 2或 D. 2或
【答案】A
【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，∴AE=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
，解得，，即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
，解得：，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．故选：A．
二、填空题
9、如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是_____．（填SAS或AAS或HL）

【答案】HL
详解】解：由题意知OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，
∴在RtOMP和RtONP中，，∴RtOMP≌RtONP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，∴OP是∠AOB的平分线．故答案为：HL．

10、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝____．

【答案】50°
【详解】在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD，∴∠B=∠FDE=65°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°，故答案为：50°．
11、如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．

【答案】180°.
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．

12、如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．

【答案】2或6.
【详解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.
在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH, ∴△ADE≌△ADH(HL), ∴AH=AE=4cm.
∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.
在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE≌△GDH(HL), ∴GH=EF=2cm.
当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;
当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm; 故AG的长为2或6.


13、如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．

【答案】65
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，
∵∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，∴∠ABD+∠BAD+∠ADE=130°，
∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∴2∠ADE=130°，∴∠ADE=65°．故答案为：65．

14、如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取点C、E，分别以点O为圆心，OC、OE长为半径作弧，交射线OB于点D、F；连接CF、DE交于点P．下列结论：①CE＝DF；②PE＝PF； ③△ODE≌△COF；
④点P在∠AOB的平分线上．其中正确的结论是_______．（填上正确的序号）

【答案】①②③④
【详解】解：由作法得OE=OF，OC=OD，∴OE-OC=OF-OD，即CE=DF，所以①的结论正确；
在△ODE和△OCF中，，∴△ODE≌△OCF（SAS），所以③的结论正确；
∴∠OED=∠OFC， 在△PCE和△PDF中，，
∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PE=PF，所以②的结论正确；
∴PC=PD，连接OP，如图，在△OCP和△OPD中，，
∴△OCP≌△OPD（SSS），∴∠COP=∠DOP，所以④的结论正确；
综上，①②③④均正确，故答案为：①②③④．


15、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．

【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB（ASA），∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5， 故答案为12.5．


16、如图，已知△ABC，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段AC上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_______cm/s．

【答案】3或
【详解】设运动了秒，，，
∵点是的中点，∴
∵，∴，∴点向点运动了，秒
∵，∴，∴，∴
设运动了秒，当时，
∵，，∴，解得秒
∵，∴，∴
故答案为：或．

三、解答题
17、如图，B、C、E三点同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．
（1）求证：BC=DE
（2）若∠A=40°，求∠BCD的度数．

【详解】（1）∵AC∥DE，∴∠ACB=∠DEC，∠ACD=∠D， ∵∠ACD=∠B．∴∠D=∠B，
在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE；
（2）∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠DCE=40°，∴∠BCD=180°–40°=140°．

18、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）CD＝5．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，， ∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．

19、如图，AC、BD相交于点O， AB=AD，BC=CD．求证：AC⊥BD．

【详解】∵ 在△ ABC和△ ADC中，∴ △ ABC≌△ ADC（SSS）∴ ∠ BAC＝∠ DAC
∵ 在△ABO和△ADO中，∴ △ ABO≌△ ADO（SAS），∴ ∠AOB＝∠AOD
又∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴ ∠AOB＝90° ，∴ AC⊥BD

20、在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．
（1）求证：AC=BD；
（2）求证：∠APB＝∠AEB．

【解析】【1】证明：∵∠AEB=∠DEC，∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，
在△BED与△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴AC=BD．
【2】证明∵△BED≌△AEC，∴∠EBD=∠EAC，
∵ ∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°，
又∵∠BOE=∠AOP，∴∠AEB=∠APB．

21、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．

【详解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF=AE，
由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，则BE=DF，
∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21，
解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE的长是15．

22、数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
根据以下情境，解决下列问题：

作法：①在和上分别截取、，使．
②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
③作射线．则就是的平分线．
（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______．
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

步骤：①利用三角板上的刻度，在和上分别截取、，使．
②分别过、作、的垂线，交于点．
③作射线．则为的平分线．
（2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
【详解】解：（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS．
故答案为SSS；
（2）解：小聪的作法正确．
理由：∵，；∴，
在和中，∵，，∴
∴，∴平分．

23、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：OE=OD；
（3）．猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明.

【详解】（1）在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝180°−∠B＝180°−60°＝120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB，
在△OAC中，∠AOC＝180°−（∠OAC＋∠OCA）
＝180°−（∠BAC＋∠ACB）＝180°−×120°＝120°；
（2）∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°，
在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，

在△AOE和△AOF中，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴OE=OF，∴∠AOE＝∠AOF，
∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝∠AOC−∠AOF＝120°−60°＝60°，
又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF， 在△COD和△COF中，，∴△COD≌△COF（ASA），∴OD＝OF，∴OE=OD；
（3）∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，∴AE＝AF，CF＝CD，
又∵AF＝AE，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD，即AE＋CD＝AC.

24、（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．

【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4， 理由如下：
∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，
∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，∴．
△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．


25、（1）观察理解：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．

【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，
由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，
在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中点；

（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD ； 故答案为：ED=EA－BD
②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，
根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE， 由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，
直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，
∵BC=3，∴AP=BC=3， ∵AD=2，∴DP=AP-AD=1，∴EQ=1，
∴△ADE的面积为． 故答案为：1

26、（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．

【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB
【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

（3）∠EAF=180°-∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．