第15讲 等边三角形（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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 第15讲 等边三角形 等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．模块一：等边三角形性质与判定知识精讲1、 等边三角形的性质等边三角形的每个内角都等于60°．2、 等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．例题解析例1．（2020·山东潍坊市·七年级期末）等边三角形是（    ）.A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据等边三角形的分类判断即可.【详解】等边三角形是锐角三角形，无直角，无钝角，，是特殊的等腰三角形，故选：B.【点睛】此题考查等边三角形的性质，正确理解性质即可解题.例2．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列说法中正确的是（    ）A．如果锐角三角形的一个内角是60°，那么这个锐角三角形是等边三角形B．三角形的角平分线就是三角形内角的平分线C．直角三角形的斜边的长度大于两条直角边长度的和D．任何三角形的高必相交于一点【答案】B【分析】根据等边三角形的判定、三角形的角平分线、直角三角形的特点及高线的特点依次判断即可求解．【详解】如果等腰三角形的一个内角是60°，那么这个锐角三角形是等边三角形．选A错；直角三角形的斜边的长度小于两条直角边长度的和．选C错；任何三角形的高（或延长线）必相交于一点.选D错；三角形的角平分线就是默认为三角形内角的平分线．选B正确；故选B．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键．例3．（2020·全国七年级课时练习）下列推理中，错误的是(   )A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B条件重复且条件不足，故不正确；C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确； D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.故选B.例4.下列说法中错误的是（     ）A．等边三角形是等腰三角形B．等边三角形是锐角三角形C．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条D．含有60°角的三角形是等边三角形【难度】★【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．例5.（1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是               三角形；   （2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________．【难度】★【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线．【解析】（1）当一个外角等于时，与这个外角相邻的内角为，因为是等腰三角形，    所以另外两个角也为，则这个三角形为等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．例6.（1）已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=_____________；（2）△ABC是等边三角形，AD∥BC，CDAD，则ACD =         ．【难度】★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）               ；（2），．，．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．  例7.已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这个三角形是（     ）A．等边三角形  B．直角三角形  C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【难度】★【答案】A【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的    两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为，所以三个内    角均为，所以为等边三角形．【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理．例8.已知△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在AB上，BD与CE相交于点F，且BF=CF，说明△ADE是等边三角形．【难度】★【解析】，．        ．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定．例9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ADB和△ACE都是等边三角形，且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度数．【难度】★★【答案】20°．【解析】，．    ．    ，    ．，，即，．【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例10.如图，是等边三角形，，则的度数是________．【难度】★★【答案】．【解析】，．，，．【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．例11.如图，在等边三角形ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的动点，且AD=BE=CF，说明△DEF是等边三角形的理由．【难度】★★【解析】．．，．【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用．例12.如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AD，BE，试说明BE=AD的理由．【难度】★★【解析】．                ．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．例13．（2018·上海虹口区·七年级期末）说理填空：如图，点E是DC的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF//BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形．解： 因为DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC=∠________． （                     ）因为∠CDA=120°（已知） 所以∠FDC=______°．因为DF//BE（已知）所以∠FDC=∠_________．（____________________________________）所以∠BEC = 60°，又因为EC=EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（_____________________________）【答案】∠ADC；角平分线的意义； 60；∠BEC； 两直线平行，同位角相等；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．【分析】利用角平分线的性质得出∠FDC的度数，再利用平行线的性质得出∠BEC的度数，进而得出△BCE为等边三角形．【详解】解：∵DF平分∠CDA，（已知）∴∠FDC=∠ADC．（角平分线的意义）∵∠CDA=120°，（已知）∴∠FDC=60°．∵DF∥BE，（已知）∴∠FDC=∠BEC=60°．（两直线平行，同位角相等）∴∠BEC=60°又∵EC=EB，（已知）∴△BCE为等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出∠FDC=∠BEC是解题关键．例14．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，点是等边中边上的任意一点，且也是等边三角形，那么与一定平行吗？请说明理由．【答案】与一定平行；理由见解析．【分析】由△ABC和△BDE也是等边三角形得：AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠C=60°，图中可知∠DBC=∠EBD，从而证明△DBC≌△EBA，根据三角形全等的性质得到∠BAE=∠C=60°，等量代换得∠BAE=∠ABC=60°，即可得AE∥BC．【详解】解：AE与BC一定平行．如图所示，其理由如下：∵△ABC和△BDE也是等边三角形得，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠C=60°，又∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠ABD+∠ABE，∴∠DBC=∠ABE，在△DBC和△EBA中∴△DBC≌△EBA（SAS），∴∠BAE=∠C=60°，∴∠BAE=∠ABC=60°，∴AE∥BC【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题关键在于掌握全等三角形的判定．例15．（2019·上海浦东新区·七年级期末）如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．【答案】△APQ是等边三角形，证明见解析.试题分析：先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．试题解析：△APQ为等边三角形，证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，在△ABP与△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．例16．（2018·上海浦东新区·）在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），且AP＝AQ．（1）如图1，已知，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点Q关于直线AC的对称点为M，分别联结AM、PM；①当点P分别在点Q左侧和右侧时，依据题意将图2、图3补全（不写画法）；②小明提出这样的猜想：点P、Q在运动的过程中，始终有PA＝PM．经过小红验证，这个猜想是正确的，请你在①的点P、Q的两种位置关系中选择一种说明理由．【答案】（1）80°  （2）①答案见解析  ②答案见解析【分析】（1）先利用三角形外角定理得到∠APQ的值，再利用等边对等角转化即可；（2）①根据题中所述步骤补全图形即可；②选择点P在点Q的左侧，QM交AC于点H，证明 △AQH≌△AMH，再证明AP＝AM，最后证明△APM是等边三角形即可.【详解】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BAP＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）①如图2，3所示：②PA＝PM，点P在点Q的左侧，QM交AC于点H，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴QH＝MH，∠AHQ＝∠AHM，∵AH＝AH，∴△AQH≌△AMH（SAS），∴AQ＝AM，∠QAH＝∠MAH，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∵∠BAP＝∠CAQ，∴∠QAH＝∠MAH＝∠BAP，∴∠PAM＝∠PAQ+∠QAH+∠MAH＝∠PAQ+∠QAH+∠BAP＝∠BAC＝60°，∴△APM是等边三角形，∴PA＝PM．【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形是解题的关键.例17.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：M是BE的中点．【难度】★★【解析】．【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用．例18.（1）如图所示，已知：△ABC是等边三角形，M、N分别是边BC、AC的中点，AM、BN相交于点P，求∠BPM的大小；（2）如果点M、N分别在BC、AC的延长线上，且BM=CN．∠BPM的大小会发生变化吗?【难度】★★【答案】（1）；（2）不会．【解析】（1），．        ，    ，．（2），，，， ．，    故∠BPM的大小会不会发生变化．【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用．例19.如图，已知：在等边△ABC中，D在BC边上，E在△ABC外，∠BAD=15°，∠DAE=70°，AD=AE，求∠CAE，∠EDC，∠EFC的度数．【难度】★★【答案】．【解析】，．．，，．，．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例20.下列说法中正确的个数有（  ）①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足，则这个三角形是等边三角形．    A．1个   B．2个   C．3个   D．4个【难度】★★【答案】B【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的    等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内    角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形    是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足    ，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不    正确．故选B．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用．例21.等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（     ）    A．2   B．3   C．4   D．5【难度】★★【答案】D【解析】；；    ；；    ，共5组．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．例22.如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．（1）求证：；    （2）求的度数．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），    ，，；（2），，．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用．模块二：等边三角形综合知识精讲将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．例题解析例1.如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．【难度】★★【解析】    【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．例2.如图，已知D是等边三角形ABC的边AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗?试说明理由．【难度】★★【答案】相等，见解析． 【解析】． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．例3.如图，已知：等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取一点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．【难度】★★【解析】   【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大．例4.如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=AE，EB与CD相交于点O．EF与CD垂直于点F，试说明OE=2OF．【难度】★★【解析】 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择．例5.如图，点O是等边△ABC内的一点，AOB=110°，BOC=135°，试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数；若不能，说明理由；（2）如果AOB的大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形．【难度】★★【解析】（1），    ． （2），， ．，，， ；，，，，综上，当BOC等于100°或150°时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题．例6.△CAB与△CDE是有公共顶点C的两个等边三角形，△CDE绕点C顺时针旋转至以下各位置：（1） 当E在BC下方时，说明AD=BE；（2） 当E在BC边上如图2、当E在△ABC内如图3、当E在AC边上如图4，当 CE∥AB时，如图5，AD=BE还成立吗?请一一说明理由． 【难度】★★★ 【解析】（1）  ．        （2）成立．方法同（1），可证，所以．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．例7.已知A、B、C三点共线，分别AC、BC为边，在直线AB同侧作等边△CAN和等边△BCM，易得AM=BN．（1）将△CAN绕点C旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM=BN吗?（2）将（1）中等边△CAN再绕点C旋转一定角度，得到图（3），上述AM=CN还成立吗?请说明理由；   （3）在旋转过程中，直线AM和直线BN所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变吗?说说你的理由．【难度】★★★【解析】（1），．         （2）成立．方法同（1）．     （3）不变．，           　　【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．随堂检测1.三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______．【难度】★【答案】等边；．【解析】略．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．2.在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（     ）A．直角三角形    B．钝角三角形    C．等边三角形      D．锐角三角形但不等边【难度】★【答案】C【解析】，　　．　　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，DG∥AB交BC于点G，E在BC的延长线上，CE=CD．（1）∠E=________；（2）∠BDE=_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）5；（4）2．【解析】（1）       （3）等腰三角形有：；   （4）等边三角形有：．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定．4.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（      ）A．   ①②③      B．①②④      C．①③      D．①②③④【难度】★★【答案】D【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一    定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三    角形，正确，故选D．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定．5.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（      ）A．等边三角形       B．腰和底边不相等的等腰三角形       C．直角三角形       D．不等边三角形【难度】★★【答案】A【解析】，．    【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用．6.已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（                ）B．    2个        B．4个     C．6个      D．8个【难度】★★【答案】C【解析】；        【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”的方法确定等腰三角形．    
7.如图，等边△ABC中，AD=CE，CD于BE相交于点P，求BPC的度数．【难度】★★【答案】【解析】，    【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．8.如图，△ABC和△DBE都是等边三角形，说明AB∥CE的理由．【难度】★★【解析】    【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用．9.如图，△ABC为等边三角形，E是BC延长线上一点，CD平分∠ACE，CD=BE，试说明△ADE为等边三角形的理由．【难度】★★★【解析】，    【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．10.如图，△ABC中，BA=BC=a，B=60°，在BC的延长线上取一点D，使CD=b，在BA延长线上取一点E，使AE=a+b，试判断△ECD是什么三角形，并说明理由．【难度】★★★【答案】等腰三角形．【解析】     【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行线的添加，将问题进行转化．