第8讲 平行线章节复习（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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本节针对平行线全章内容进行总结，对于易见题型进行归类，帮助同学们能够更好的掌握相交线和平行线的内容．
选择题
1．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）在下面所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做互为对顶角，逐一判定即可.
【详解】A选项，∠1和∠2不是两条直线相交，不是对顶角；
B选项，∠1和∠2不是两条直线相交，不是对顶角；
C选项，∠1和∠2不是两条直线相交，不是对顶角；
D选项，符合对顶角的定义，是对顶角；
故选：D.
【点睛】此题主要考查对对顶角的理解，熟练掌握，即可解题.
2．（2020·上海九年级专题练习）如图，直线l1∥l2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（ ）
A．20°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】过∠3的顶点作l1的平行线m，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：过∠3的顶点作l1的平行线m，∴∠1＝∠4，
∵l1∥l2，∴m∥l2，∴∠2＝∠5
∴∠3＝∠4+∠5＝∠1+∠2＝80°
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.
3．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=
A．70°B．80°
C．90°D．100°
【答案】C
【分析】由AB∥CD可以推出∠EFB=∠C=115°，又因为∠A=25°，所以∠E=∠EFB-∠A，就可以求出∠E．
【详解】∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=115°，
∵∠A=25°，∴∠E=∠EFB−∠A=115°−25°=90°.
故选C.
【点睛】考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键.
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，，于交于，已知，则（ ）．
A．20°B．60°C．30°D．45°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，∴∠3=∠1=60°（两直线平行，同位角相等），
∵EF⊥AB于E，∴∠2=90°-60°=30°，故选C．
5.下列说法中正确的是（ ）
A．有公共顶点、公共边且和为180°的两个角是邻补角
B．有公共顶点且相等的是对顶角
C．对顶角的补角一定相等
D．互为邻补角的两个角不可能相等
【难度】★
【答案】C
【解析】有一条公共边，并且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，故选项
A错误；有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故选项B错误；
C正确；互为邻补角的两个角可能都为，故选型D错误．
【总结】本题主要考查了对顶角和邻补角的概念．
6.下列说法正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【难度】★
【答案】D
【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项A错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项B错误；
只有两直线平行时，它们的内错角才相等，故选项C错误；
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故选项D正确．
【总结】本题主要考查了对顶角、内错角、平行线、点到直线的距离的概念．
7.下列说法中错误的是（ ）
A．存在平行于同一条直线的两条直线
B．存在垂直于同一条直线的两条直线
C．过平面上一点总可以作已知直线的平行线
D．过平面上一点总可以作已知直线的垂线
【难度】★
【答案】C
【解析】过直线外一点可以画已知直线的平行线，故选项C错误．
【总结】本题主要考查了平面内两条直线的位置关系．
8.如图，下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1=∠AB．∠A=∠3
C．∠1=∠4D．∠A+∠2=180°
【难度】★
【答案】A
【解析】只能判定DE//AC，所以选A．
【总结】本题主要考查了平行线的判定定理．
9.下列各图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】根据同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线
的同侧，并且在第三条直线的同旁，则这样的一对角叫做同位角，可知答案为选项B．
【总结】本题主要考查了同位角的定义．
10.如图，三条直线a、b、c相交于点E，则（ ）
A．90°B．120°C．180°D．360°
【难度】★
【答案】C
【解析】如图，因为，
所以，
故答案选C．
【总结】本题主要考查了对顶角相等的性质．
11.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有（ ）
A．平行与垂直B．相交和平行
C．斜交和垂直D．以上都不对
【难度】★
【答案】B
【解析】平面内不重合的两条直线的位置关系有：相交和平行，故答案选B．
【总结】本题主要考查了平面内两直线的位置关系．
12.下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点
A到直线c的距离是3cm
【难度】★
【答案】D
【解析】经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，直线的垂线有无数条，故选项A错
误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故选项B错误；
互相垂直的线段不一定相交，故选项C错误；因为垂线段最短，从直线外一点与直线
上各点连接而成的所有线段中，最短线段长是3cm即垂线段的长度是3cm，也就是点
到直线的距离是3cm，故选项D正确．
【总结】本题主要考查了垂线的性质和点到直线的距离的定义．
13.如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（ ）
A．3对B．4对 C．5对D．6对
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为DE∥BC（已知）
所以∠DEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，（两直线平行，同位角相等）
又因为BE平分∠ABC（已知）， 所以∠ABE=∠EBC（角平分线的意义）
所以∠DBE=∠DEB（等量代换）
所以图中相等的角共有5对，故选C．
【总结】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的意义．
14.如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为AB∥CD（已知），
所以∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
设∠ABC的对顶角为∠1，
则∠ABC=∠1（对顶角相等），
又因为AC⊥BC（已知），
所以∠ACB=90°（垂直的意义），
所以∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°，
因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．
故选C．
【总结】本题主要考查了平行线的性质及对等角相等的性质．
15.如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠EFB相等的角（不包括∠EFB）的个
数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【难度】★★
【答案】D
【解析】如图，设DC，EG的交点为M，
因为EG∥BC，所以∠EFB=∠GEF（两直线平行，内错角相等），
因为DC∥EF，所以∠EMD=∠GEF=∠GMC（两直线平行，内错角相等），
因为DH∥EG，所以∠EMD=∠CDH（两直线平行，内错角相等），
因为DH∥EG∥BC，所以∠CDH=∠DCB（两直线平行，内错角相等）．
所以与∠EFB相等的角（不包括∠EFB）的个数为5；故选D．
【总结】本题主要考查了平行线的性质．
16.下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
C．如果两个角是邻补角，那么这两个角相等
D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
【难度】★★
【答案】B
【解析】相等的两个角不一定是对顶角，故选项A错误；
如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角，故选项B正确；
如果两个角是邻补角，那么这两个角互补，但不一定相等，故选项C错误；
不是对顶角的两个角也可能相等，如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，故选
项D错误．
【总结】本题主要考查了对对顶角和邻补角的性质的理解．
17.下列说法中错误的是（ ）
A．两平行线被第三条直线所截得的一对同位角的平分线互相平行
B．两平行线被第三条直线所截得的一对内错角的平分线互相平行
C．两平行线被第三条直线所截得的一对同旁内角的平分线互相平行
D．一对邻补角的角平分线互相垂直
【难度】★★
【答案】C
【解析】平行线被第三条直线所截得的一对同旁内角的平分线是互相垂直的，故选项C错
误．
【总结】本题主要考查了平行线的性质及对角平分线定义的理解．
18.下列命题中：（1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线和已知直线平
行；（3）相等的角是对顶角；（4）同位角相等，正确的有（ ）
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】A
【解析】对顶角相等，所以（1）为真命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行，所以（2）为假命题；相等的角不一定为对顶角，所以（3）为假命题；两直线平行，
同位角相等，所以（4）为假命题．故正确的只有1个，选A．
【总结】本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定和性质定理．
19.下列四个结论中，正确的个数是（ ）
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等；
如果两个角相等，那么这两个角的两边可能分别平行；
如果两个角相等，那么这两个角的两边可能分别垂直
A．0个B．1个C．2个D．3个
【难度】★★
【答案】C
【解析】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故 = 1 \* GB3 ①错误；如果两个角的
两边分别垂直，那么这两个角不一定相等，故 = 2 \* GB3 ②错误；如果两个角相等，那么这两个角
的两边可能分别平行，故 = 3 \* GB3 ③正确；如果两个角相等，那么这两个角的两边可能分别垂直，
故 = 4 \* GB3 ④正确．所以正确的个数为2个，选C．
【总结】本题主要考查了两个三角形角和边之间的关系．
20.下列说法中正确的是（ ）
A．如果∠A+∠ADC=180°，那么AD∥BC
B．如果AB∥CD，那么∠A+∠ADC=180°
C．如果∠1=∠2，那么AD∥BC
D．如果AD∥BC，那么∠3=∠4
【难度】★★
【答案】B
【解析】如果∠A+∠ADC=180°，那么AB∥DC，故选项A错误；
如果AB∥CD，那么∠A+∠ADC=180°，故选项B正确；
如果∠1=∠2，不能证明AD∥BC，故选项C错误；
如果AD∥BC，那么∠3=∠1，故选项D错误．
【总结】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理．
填空题
1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种．
【答案】相交 平行 异面
【分析】在空间，直线与直线的位置关系有平行、相交、异面三种，在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交，根据两条直线所在的空间解答即可.
【详解】在空间，直线与直线的位置关系有相交、平行、异面，
故答案为：相交、平行、异面.
【点睛】此题考查相交于平行的特征及性质，关键是要明确两条直线所在的平面是在空间或是在同一平面内.
2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是________直线．
【答案】平行 异面
【分析】在空间，直线与直线的位置关系有平行、相交、异面三种，在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交，根据两条直线所在的空间解答即可.
【详解】没有公共点的两条直线可能是平行直线，也有可能是异面直线
故答案为：平行、异面.
【点睛】此题考查相交于平行的特征及性质，关键是要明确两条直线所在的平面是在空间或是在同一平面内.
3．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知a∥b，∠1=50°，那么∠2=______度．
【答案】130
【分析】根据平行线的性质，得出∠1和∠2互补，即可得解.
【详解】
∵a∥b，∠1=50°，∴∠1=∠3=50°
∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-50°=130°
故答案为：130.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题关键是利用两直线平行同位角相等，等量转换.
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知，，，则__________．
【答案】95°
【解析】如图，作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，
∵∠DCE=∠FEC=35°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=95°.故答案为95°.
点睛：本题关键在于构造平行线，再利用平行线的性质解题.
5．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____度．
【答案】70
试题解析：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，
在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°-∠1-∠ACB=70°．
又∵a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．
考点：1.三角形内角和定理；2.平行线的性质．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，试说明：BE//CF．
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴________＝________＝90°（___）
∵∠1＝∠2（已知）
∴________＝________（等式性质）
∴BE//CF（____________）
【分析】根据平行线的判定定理进行填空.
【详解】∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC＝∠DCB＝90°（ 垂直的定义 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠EBC ＝∠FCB （等式性质）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
7.如图，A、B、C三点共线，在用数字标出的角中，同旁内角有_______对；同位角有________对．
【难度】★
【答案】10，2．
【解析】同旁内角有：∠1与∠9，∠1与∠5，∠5与∠9，
∠2与∠4，∠3与∠4，∠3与∠2，∠3与∠7，∠6与∠7，
∠6与∠8，∠7与∠8，共10对；
同位角有：∠3与∠6，∠4与∠7，共2对．
【总结】本题主要考查了同旁内角和同位角的定义．
8.如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，如果∠1=（45-2x）°，∠2=（3x+10）°，那么∠AED=_________．
【难度】★
【答案】62°．
【解析】因为CD平分∠ACB（已知）
所以∠2=∠BCD（角平分线的定义）
因为DE//BC（已知），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
所以∠1=∠2（等量代换）
即45-2x =3x+10， 解得：x =7．
所以∠1=∠2=31°， 所以∠AED=∠1+∠2=62°．
【总结】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质．
9.如图，直线AB、CD相交于点O，如果OE平分∠BOD，∠EOD=30°，那么∠AOC=__________．
【难度】★
【答案】60°．
【解析】因为OE平分∠BOD（已知）
所以∠EOD=∠BOE=30°（角平分线的意义）， 所以∠BOD=60°
因为∠BOD=∠AOC(对顶角相等)， 所以∠AOC=60°（等量代换）．
【总结】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质．
10.如图，BE、CF相交于点O，如果OA⊥FO，OD⊥OE，那么∠AOB=∠_____．
【难度】★
【答案】∠COD
【解析】因为OA⊥FO，OD⊥OE（已知）
所以∠AOC =90°，∠BOD =90°（垂直的意义）
即∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°
所以∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．
【总结】本题主要考查了垂直的性质和余角的性质．
11.如图在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A∠B=40°，则∠B=_______．
【难度】★★
【答案】70°
【解析】因为∠C+∠D=180°（已知）
所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又因为∠A∠B=40°（已知）， 所以∠A=110°，∠B=70°（等式性质）．
【总结】本题主要考查了平行线的判定和性质定理的运用．
12.如图，AB∥CD，BC∥DE，则∠D+∠B=________．
【难度】★★
【答案】180°．
【解析】因为AB∥CD（已知）
所以∠C=∠B（两直线平行，内错角相等）
因为BC∥DE（已知）
所以∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠B+∠D=180°（等量代换）
【总结】本题主要考查了平行线的性质的运用．
13.如图，BD平分∠ABC，∠A=（4x+30）°，∠DBC=（x+15）°，要使AD∥BC，则__________．
【难度】★★
【答案】35°．
【解析】因为BD平分∠ABC（已知），所以∠ABC=2∠DBC（角平分线的意义）
因为∠DBC=（x+15）°（已知）， 所以∠ABC=2∠DBC=2（x+15）°
因为AD∥BC（已知）， 所以∠A+∠ABC=180°（同旁内角互补，两直线平行）
因为∠A=（4x+30）°， 所以（4x+30）+2（x+15）=180°，
解得：x=20， 所以∠DBC=35°，
因为AD∥BC（已知）
所以∠ADB=∠DBC=35°（两直线平行，内错角相等）．
【总结】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的意义的综合运用．
14.如图，一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1=_______．
【难度】★★
【答案】65°．
【解析】根据题意得∠DMN=∠ANM，即2∠1=130°，
解得：∠1=65°．
【总结】本题主要考查了翻折和平行线性质的综合运用．
15.如果正方形BEFG的面积为5，正方形ABCD的面积为7，则三角形GCE的面积是___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为正方形BEFG的面积为5，正方形ABCD的面积为7，
所以，，
所以．
【总结】本题考查几何图形的面积．
16.如图，a∥b，．若△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，则=________；
=__________；=__________；=___________．
【难度】★★★
【答案】3；2；5；．
【解析】因为△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，
所以△BEC的面积为5-2=3，
因为△ABC和△DBC为同底等高的三角形，所以△DBC的面积为5，
所以△DEC的面积为5-3=2，
因为△ABE和△BEC为等高三角形，所以面积之比为底之比，即AE:EC=2：3，
因为△ADE和△DEC为等高三角形，所以底之比为面积之比，
所以△ADE 的面积为．
【总结】本题主要考查了平行线的性质和三角形面积的求法．
17.在同一平面内有2016条直线，若，则与的关系是_______．
【难度】★★★
【答案】平行．
【解析】因为，所以，因为 ，所以，
因为，所以，因为 ，所以，
所以可知与后面的直线按照垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环，
所以与的关系是平行．
【总结】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用．
解答题
1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）如图,已知AC∥DE,∠1=∠2.求证AB∥CD．
【分析】由AC∥DE，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠ACD，而∠1=∠2，则∠1=∠ACD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得到结论．
【详解】∵AC∥DE，∴∠2=∠ACD，∵∠1=∠2 ，∴∠1=∠ACD，∴AB∥CD
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
2．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2．
【分析】首先根据垂直性质得出，然后根据平行线性质得出，进而即可得证.
【详解】
（两直线平行，内错角相等）
.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题关键是进行等量转换.
3．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置上，的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，你能分别求出∠1和∠2的度数吗？请你试一试．
【答案】∠1=70°，∠2=110°
【分析】首先由平行的性质得出，然后由翻折的性质得出，进而即可得出∠1和∠2.
【详解】
，
由翻折的性质，得
.
【点睛】此题主要考查平行线的性质以及翻折的性质，熟练掌握，即可解题.
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F，请问∠A与∠D存在怎样的关系？验证你的结论．
【答案】∠A＝∠D．理由见解析.
【分析】先由对顶角相等、等量代换可得：∠1=∠3，然后由同位角相等两直线平行可得：FB∥EC，然后由平行线的性质和已知条件得到∠FBA=∠F，易得直线DF∥AC，由平行线的性质推知∠A=∠D即可．
【详解】解：∠A＝∠D．理由如下：如图所示，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FB∥EC，∴∠FBA＝∠C，
∵∠C＝∠F，∴∠FBA＝∠F，∴DF∥AC．∴∠A＝∠D．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行，内错角相等⇔两直线平行，同旁内角互补⇔两直线平行．
5.如图，直线CD与直线AB相交于点C，根据下列语句画图：
过点P作直线PQ∥CD，交AB于点Q；
过点P作PR⊥CD，垂足为R；
若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度?并说明理由．
【难度】★★
【答案】60°．
【解析】
因为PQ ∥ CD（已知）
所以∠DCB+∠PQC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DCB=120°（已知）
所以∠PQC=180°120°=60°（等式性质）
【总结】本题考查了平行线和垂线的画法，同时考查了平行线的性质．
6.已知，如图AB∥CD，△ACD的面积等于12cm2，CD=6cm，求点B到直线CD
的距离．
【难度】★★
【答案】4cm
【解析】因为△ACD的面积等于12cm2，CD=6cm，
所以点A到直线CD的距离为4cm，
因为AB∥CD，
所以点B到直线CD的距离即为点A到直线CD的距离为4cm．
【总结】本题主要考查了平行线之间的距离的性质．
7.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交与O，△AOB的面积等于21cm2，求△COD的面积．
【难度】★★
【答案】21cm2
【解析】因为AD//BC
所以△ABD的面积等于△ACD的面积(同底等高)，
所以△AOB的面积等于△COD的面积，即21cm2．
【总结】本题主要考查了同底等高三角形面积相等的应用．
8.如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求三角形CAD的面积．
【难度】★★
【答案】6
【解析】因为∠1=∠2（已知）
所以 AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以AD到BC的距离相等，设为a，
所以 三角形ABC面积= =3，
所以三角形ACD面积= =6．
【总结】本题主要考查了等高三角形的面积之比为底之比的应用．
9.如图△ABC中，∠ABC=∠ACB，AE是△ABC的外角的平分线，F是AE上的一点，试说明△ABC与△FBC的面积相等．
【难度】★★
【解析】因为AE是△ABC的外角的平分线（已知）
所以∠DAF=∠DAC（角平分线的意义）
因为（邻补角的意义），
（三角形内角和等于180°）
所以∠DAC=∠ABC+∠ACB（等式性质）
因为（角的和差），∠ABC=∠ACB（已知）
所以∠DAF=∠ABC（等式性质）
所以AF//BC（同位角相等，两直线平行），
所以点A到直线BC的距离等于点F到直线BC的距离（夹在平行线间的距离处处相等）
所以△ABC与△FBC为同底等高三角形，
所以△ABC与△FBC的面积相等．
【总结】本题主要考查了平行线的判定和同底等高三角形面积相等的应用．
10.如图，已知AD⊥BC，垂足为D，EG⊥BC，垂足为G；EG交AB于点F，且∠AFE=∠E，据此可推出AD平分∠BAC吗?请简要说明理由．
【难度】★★
【解析】因为AD⊥BC，EG⊥BC（已知）
所以AD//EG（垂直于同一条直线的两条直线平行），
所以∠CAD=∠E（两直线平行，同位角相等），
因为∠AFE=∠BFG（对顶角相等），∠AFE=∠E（已知）
所以∠CAD=∠BFG（等量代换）
因为AD//EG（已证）
所以∠BFG=∠BAD（两直线平行，同位角相等），
所以∠CAD=∠BAD（等量代换）
所以AD平分角BAC（角平分线的意义）．
【总结】本题主要考查了平行线性质的应用，注意分析角之间的关系．
11.如图所示，AB∥DE，∠BAC=130°，∠ACD=80°，试求∠CDE的度数．
【难度】★★
【答案】30°
【解析】因为AB∥DE（已知）
所以∠BAC+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠BAC=130°（已知）
所以∠E=50°（等式性质）
因为（邻补角的意义），∠ACD=80°（已知）
所以（等式性质）
因为（三角形内角和等于180°）
所以（等式性质）
【总结】本题主要考查了平行线性质和三角形内角和性质的综合应用．
12.一条公路修到湖边时，需要拐弯绕道而行，如果第一次拐的角∠A=120°，第二次拐的∠B是150°，第三次拐的是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C的度数是多少?
【难度】★★
【答案】150°
【解析】过点B作BF∥AE，
因为AE∥CD（已知）
所以AE∥BF∥CD（平行的传递性）
所以∠A+∠ABF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠FBC=∠C（两直线平行，内错角相等），
因为∠A=120°（已知）
所以∠ABF=180°120°=60°（等式性质）
所以∠FBC=360°∠ABC∠ABF=360°150°60°=150°
所以∠C=∠FBC =150°（等量代换）．
【总结】本题主要考查了平行线性质的应用．
13.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BGE=100°，求∠EFG的度数．
【难度】★★
【答案】50°
【解析】根据翻折的性质，得∠DEF=∠GEF，
因为AD∥BC（已知）
所以∠BGE=2∠DEF=100°（两直线平行，内错角相等），
所以∠DEF=50°（等式性质）
因为AD∥BC（已知）
所以∠DEF=∠EFG（两直线平行，内错角相等），
所以∠EFG=50°（等量代换）．
【总结】本题主要考查了翻折和平行线性质的应用．
14.（1）如图，C点在B点的北偏西60°的方向上，B点在A点的北偏东30°的方向上，试求∠ABC的度数；
（2）如图，C点在B点的北偏西60°的方向上，C点在A点的北偏西30°方向上，求∠C
的度数．
【难度】★★
【答案】90°，30°
【解析】（1）根据题意可得：∠1=60，∠3=30°，
因为AE∥DB，所以∠3=∠2=30°（两直线平行，内错角相等），
所以∠ABC =180°60°30°=90°；
（2）因为∠1=60°，∠4=30°， 所以∠C=60°30°=30°．
【总结】本题主要考查了平行线性质的应用．
15.如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，试说明∠BAD的平分线与∠BCD的平分线平行或重合．
【难度】★★★
【解析】因为∠B=∠D=90°（已知），
所以∠BAD+∠BCD=180°（等式性质），
又因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD（已知）
所以∠EAD=∠BAD，∠DCF=∠BCD（角平分线的意义）
所以∠EAD+∠DCF=90°（等式性质），
又因为（邻补角的意义），
（三角形内角和等于180°）
所以（等式性质）∠EAD+∠AFC=90°+90° =180°（等式性质），
所以AE∥FC（同旁内角互补，两直线平行）
当∠BAD=∠BCD，且AB=AD时，AE与FC重合．
【总结】本题主要考查了平行线的判定定理及角平分线的运用，注意特殊情况的说明．
16.如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为AD的中点，在不添加
其他字母和线段的情况下，回答下列问题：
图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等?
图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等?
如果四边形ABCD的面积为8cm2，分别求出（1）（2）题的三角形的面积．
【难度】★★★
【答案】（1）△ECD， △ACE，△EBD；
（2）△ABD，△BCD，△ADC，△BCE；
（3）2cm2 ，4cm2．
【解析】（1）△ABE与△ECD，△ACE，△EBD为等底等高三角形，所以面积相等；
（2）△ABC与△ABD，△BCD，△ADC，△BCE为等底等高三角形，所以面积相等；
（3），
．
【总结】本题主要考查了中点的性质和平行线的性质应用．
17.（1）如图（1），点E在射线AB、CD之间，而且∠AEC=∠A+∠C，试判断AB、
CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2）∠AEC、∠A、∠C满足什么数量关系能够保证射线AB∥CD；
（3）如图（3）∠AEC、∠A、∠C满足什么数量关系能够保证射线AB∥CD．
【难度】★★★
【答案】
（1）过E作平行线EF∥AB，
所以∠A=∠AEF（两直线平行，内错角相等），
因为∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+∠C，
所以∠C=∠FEC，
所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行），
所以AB∥CD（平行线的传递性）．
（2）∠AEC+∠A+∠C=360°；
（3）∠AEC=∠A-∠C．
【解析】注意添加辅助线，利用平行线的性质和等量代换来证明．
【总结】本题主要考查了平行线的判定和性质定理．