第14讲 等腰三角形二（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

这是一份第14讲 等腰三角形二（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第14讲等腰三角形二练习解析版docx、第14讲等腰三角形二练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
第14讲 等腰三角形二（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·浙江期末）若一个等腰三角形的外角为，则它的顶角度数是（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．【详解】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．2．（2022·江苏泰州市·期末）在中，，如果，那么的度数为（    ）A．40° B．70° C．100° D．40°或70°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C即可求解．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°．故选：A．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．3．（2020·唐河县桐寨铺镇第一初级中学月考）若等腰三角形的一个角为，则它一腰上的高与底边的夹角是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出，由，可得，则可得．【详解】如图：∵等腰三角形的一个角为100°，∴等腰三角形的顶角为100°，即，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∴，∵,∴，∴,∴，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，知道等腰三角形的一内角为100°，则顶角为100°，读懂题意，是解答本题的关键．4．（2022·昌江黎族自治县红林学校）已知等腰三角形中，有一个角为80°，则它的另外两个角的度数为（     ）A．60°和60° B．20°和80° C．40°和60° D．50和50°或20°和80°【答案】D【分析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°；②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°；故选D．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．5．（2022·湖北十堰市·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题6．（2020·浙江杭州市·期末）已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为________．【答案】70°或40°【分析】分情况讨论这个70°的角是顶角还是底角即可得出结果【详解】解：若70°的角是顶角，则底角是=，成立若70°的角是底角，则顶角是180°−2×70°=40°，成立故答案是：70°或40°【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论7．（2020·浙江绍兴市）等腰三角形的顶角是50°，则其底角的度数是____________．【答案】65°【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．【详解】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，∴底角=（180°-50°）÷2=65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．8．（2022·广东广州市·绿翠现代实验学校期末）如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝_____°．【答案】【分析】由等腰三角形的性质先求解，再求解，再利用三线合一的性质求解即可得到答案．【详解】解： AB＝AC，∠B＝30°， AB＝AC，AD是△ABC的中线，平分， 故答案为：【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．9．（2020·衡阳市田家炳实验中学月考）若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 _________【答案】70°或40°【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【详解】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180-40）÷2 =70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故答案为：70°或40°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．三、解答题10．（2020·武汉市梅苑学校期中）在中，AB＝AC，AD⊥BC，且∠BAC=120°．求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度．【答案】30°；30°；60°；60°.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=（180°-∠BAC）=×60°=30°，再由等腰三角形的性质三线合一即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC且∠BAC=120°，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=×60°=30°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质得是解题的关键．11．（2020·浙江嘉兴市）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：BE＝CF．（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）70°【分析】)由平行线的性质得出，结合已知条件，依据AAS即可证明≌；由得：，≌，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF；（2）解：由（1）得：∠C＝∠B＝40°，△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，又∵AB＝CF，∴CD＝CF，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质以及三角形内角和定理；利用全等的性质求证线段相等是一种常见思路，利用三角形内角和求角度也是常见思路，关键是将已知条件转化到目标三角形中．12．（2018·吉林期末）如图，在中，．求的度数．【答案】37.5°【分析】利用等边对等角的性质结合三角形内角和定理可求出，再根据外角的性质可得的度数.【详解】证明：∵，，∴．又∵，∴．而，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，还涉及了三角形内角和定理及三角形外角的性质，灵活利用等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键.13．（2019·吉林吉林市·）如图，把Rt△ABC绕点A．逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．【答案】20°【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.【详解】解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．∴∠ABBʹ=∠ABʹB．∴∠ABBʹ==70°．∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．【点睛】本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.14．（2020·全国九年级专题练习）已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【详解】证明：延长ED至G，使，连结GC， ∵在中，为中线，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中， ∴，，，，，．又，∴，∴.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．15．（2020·剑阁县普安中学校月考）如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求证：BE＝AD；（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝AD，理由见解析．【分析】（1）证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论；（2）图2、图3、图4同样证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，以图2为例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．能力提升1.如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AC，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．【难度】★★【答案】．【解析】，又，．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础．2.如图所示，试说明：．【难度】★★【解析】（1）；（2）【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE．求∠CDE的度数．若∠BAD＝40呢?【难度】★★【答案】，．【解析】同理：当时，．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换．4.如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数．【难度】★★【答案】．【解析】．    【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化．5.已知∆ABC中，BD=CE，DF=EF．试说明AB=AC．【难度】★★【解析】证明：过点作交于      【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用．6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（     ） A．AC＞2AB     B．AC＝2AB   C．AC≤2AB         D．AC＜2AB 【难度】★★【答案】【解析】解：延长到，使，联结        故选．【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系．7.如图，已知：AC∥BD，EA、EB平分∠BAC、∠DBA，交CD于点E，试说明：AB=AC+BD．【难度】★★【解析】证明：在上取一点，使，联结．平分，，，，，，．．【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．8.如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，试说明：BQ+AQ=AB+BP．【难度】★★★【解析】延长到，使，联结，则． 分别是的角平分线，且 【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强，注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线．