专题01运算能力课之平方根及立方根高频考点专练- 2022-2023学年七年级数学专题训练（浙教版）

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专题01运算能力课之平方根及立方根高频考点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________  一、单选题1．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　　）A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3【答案】C【分析】把变形为，进一步即可求出答案．【详解】解：．故答案为：C．【点睛】本题考查了立方根的定义，正确变形、熟练掌握立方根的概念是关键．2．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；平方根等于本身的数有：0，故②错误；两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；实数与数轴上的点一一对应，故④正确；是无理数，不是分数，故⑤错误；从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．故选：A．【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．3．下列说法正确的是(       )A．－81的平方根是±9B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D．2是4的平方根【答案】D【详解】解：A、－81没有平方根，故本选项错误；B、正数的平方根一个为正，一个为负，且互为相反数，故本选项错误；C、的平方根是，而，故本选项错误；D、2是4的平方根，正确，故选D.4．下列说法正确的是 （      ）A．一定表示负数 B．平方根等于它本身的数为0和1C．倒数是本身的数为1 D．互为相反数的绝对值相等【答案】D【分析】当m是负数时，-m表示正数；平方根等于本身的数是0；倒数等于本身的数是±1；互为相反数的绝对值相等.【详解】A. 若m=﹣1，则﹣m=﹣（﹣1）=1，表示正数，故A选项错误；B. 平方根等于它本身的数为0，故B选项错误；C. 倒数是本身的数为1和﹣1，故C选项错误；D. 互为相反数的绝对值相等，故D选项正确；故选D【点睛】本题考查了平方根、倒数以及相反数的概念，熟练掌握各个知识点是解题关键.5．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；④的平方根是，其中正确的个数有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．【详解】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；③任何实数都有立方根，③说法正确；④的平方根是，故④说法错误；故其中正确的个数有：2个．故选：C．【点睛】本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．6．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出（x-2）2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由AD=2x可得答案．【详解】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x-2）2=19，则，∴或（舍去）则，故选：C．【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．7．下列说法其中错误的个数（    ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可．【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误；④因为负数有立方根，原说法错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确．∴错误的说法有3个，故选：D．【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键．  二、填空题8．已知，则的值是______________________．【答案】【分析】根据立方根的性质即可求解．【详解】已知，故答案为: ．【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知实数的性质变形求解．9．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）【答案】②【分析】根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断．【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；②根据四舍五入可知，近似数1.70所表示的准确数的范围是，说法正确；③的平方根是，原说法错误；④立方根是它本身的数是0和±1，原说法错误；故答案为：②．【点睛】本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，本题属于基础题型．10．若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=__．【答案】3.【详解】72n=8×9n=23×32·n，要想是整数，则满足条件的最小正整数n的值应为3，故答案为3.11．已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是___________【答案】1【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程，求出a、b后再代入进行计算求出的值，然后根据算术平方根的定义求解．【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴的算术平方根是1，故答案是：1.【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键． 三、解答题12．计算：（1）（2）（3） （4）【答案】（1）；（2）3；（3）；（4）-4．【分析】（1）利用异号两数相加取绝对值大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可；（2）先计算乘方，再利用乘法分配律计算后将结果相减即可；（3）先计算乘方，再将除法化为乘法，最后利用有理数的乘法运算法则计算即可；（4）先计算立方根和算术平方根，再逆运用乘法分配律计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式=====3；（3）原式===；（4）原式====-4．【点睛】本题考查算术平方根和立方根，有理数的混合运算．牢记运算顺序和每一步的运算法则是解题关键，注意适当的时候运用运算律可以使计算简单．13．（1）求出下列各数：①9算术平方根；②的立方根；③2的平方根．（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“”连接）．【答案】（1）①3；②-3；③；（2）数轴见解析，【分析】（1）根据算术平方根、立方根、平方根的定义，求出各数即可；（2）先把各数表示在数轴上，再根据数轴上实数比较大小的方法，用不等号连接起来即可．【详解】解：（1），，∴9的算术平方根是3，-27的立方根是-3，2的平方根是；（2）如图：∴．【点睛】本题考查了平方根、立方根、有理数大小的比较等知识点，掌握平方根、算术平方根、立方根的意义及数轴上实数大小的比较办法是解决本题的关键．14．计算：（1）    （2）【答案】（1）-16；（2）-1．【分析】（1）直接根据有理数的加减法法则运算即可；（2）根据乘方、算术平方根、绝对值、立方根即可求解．【详解】解：（1）（2）【点睛】此题主要考查实数的加减、乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．15．计算：（1）  （2）（3）  （4）【答案】（1）48；（2）；（3）；（4）2034．【分析】（1）从左到右依次计算即可；（2）先将除法化为乘法，再计算乘法即可；（3）先利用乘法分配律计算，再计算有理数的加法和合并同类二次根式；（4）分别计算乘法，立方根，将结果相加即可．【详解】解：（1）原式==48；（2）原式==；（3）原式==；（4）原式==2034．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．16．计算：（1） （2）【答案】（1）-2；（2）．【分析】（1）先分别计算乘方和括号，再依次相加、减即可；（2）分别对根号下进行变形或计算，再计算算术平方根和立方根，然后依次相加、减即可．【详解】解：（1）原式===-2；（2）原式====．【点睛】本题考查有理数的混合运算，求算术平方根和立方根．解题需掌握运算顺序和每一步的运算法则．17．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②，③，④-3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．整数集合{            …}，负分数集合{            …}，正有理数集合{            …}，无理数集合{            …}．【答案】见解析．【分析】先求出立方根，再根据整数、负分数、正有理数、无理数的定义即可得．【详解】，则整数集合{①，③，⑥，⑧，}；负分数集合{④，}；正有理数集合{⑦，⑨，}；无理数集合{②，⑤，⑩，}．【点睛】本题考查了立方根、整数、负分数、正有理数、无理数，熟练掌握各定义是解题关键．18．已知一个正数的平方根是和．（1）求这个正数．（2）求的平方根和立方根．【答案】（1）441或49；（2），或，【分析】（1）分情况讨论，这两个平方根相等或互为相反数，求出a的值，在算出这个正数；（2）由（1）的结果分情况讨论，根据平方根和立方根的定义算出结果．【详解】解：（1）若这两个平方根相等，则，解得，这个正数是：；若这两个平方根互为相反数，则，解得，这个正数是：；（2）若，则，的平方根是，立方根是；若，则，4的平方根是，立方根是．【点睛】本题考查平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义以及计算方法．19．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直径为，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式，r为球的半径．）【答案】3cm．【分析】设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r，小水桶的直径为，水面下降了，小水桶的半径为6cm，下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)，即，解得：，，答：铅球的半径是3cm．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r的方程．20．根据条件求值．（1）求代数式的值，其中；（2）已知的一个平方根是3,的立方根是3，求的平方根．【答案】（1）；（2）±3【分析】（1）直接将a和b的值代入计算；（2）根据平方根和立方根的定义求出a和b的值，代入计算，再求出a+2b的平方根．【详解】解：（1）∵，∴==；（2）由题意可得：2a-1=9，3a+6b=27，解得：a=5，b=2，∴a+2b=9，∴a+2b的平方根为±3．【点睛】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．21．（1）已知，，则____________．（2）已知，则_________．（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位．（4）如果，则_________，____________．【答案】（1）200（2）0.05（3）左或右；1．（4）；【分析】（1）观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向右移动3位后又向右移动3位，则立方根的小数点向右移动1位后又向右移动1位，直接写出得数即可．（2）当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根的小数点向左移动1位后又向左移动1位，直接写出得数即可．（3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律，被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．（4）把发现、总结的规律进行应用，直接写出得数即可．【详解】解：（1）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．可以看作为被开方数8的小数点向右移动3位后又向右移动3位，则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位，∴．（2）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，可以理解为被开方数125的小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位，∴．（3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．（4）根据以上小题发现的规律，可看作被开方数向右移动3位，，的立方根向右移动1位，∴；∵，可看作被开方数向左移动3位，，的立方根向左移动1位，∴．【点睛】本题考查了立方根的实际应用，根据观察得出规律，被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，观察发现并总结应用规律是解题关键．22．先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1），则54872的立方根是___位数，54872的个位数字是2，则54872的立方根的个位数字是_____．（2）如果划去54872后面的三位“872”得到数54，而，由由此可确定54872的立方根的十位数字是_____，此54872的立方根是______．（3）现在换一个数185193，你能按这种方法得出它的立方根吗？请求出立方根，并说明理由．【答案】（1）两，8；（2）3；38；（3）57，理由见详解【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答,分别求得1至9的立方，然后依据原数的末位数字判断出它的个位数；（2）利用夹逼法判断出十位数字即可；（3）利用（1）（2）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【详解】解：（1）∵1000＜54872＜1000000，∴10＜＜100，∴54872的立方根是两位数．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729，且54872的个位数字是2，∴54872的立方根的个位数字是8．故答案为：两，8；（2）∵27＜54＜64，∴54872的立方根的十位数字是3．因此54872的立方根是38．故答案为：3；38； （3）185193的末位数字是3，∴185193的立方根的个位数字是7． ∵53＝125，63＝216，且125＜185＜216，∴185193的立方根的十位数字是5． ∴185193的立方根是57．【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．23．已知的算术平方根是3，的立方根是-2，求的平方根．【答案】±【分析】利用算术平方根，以及立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．【详解】由题意得：2a-1=9，3a+b-1=8，解得：a=5，b=-6，则a-2b=5+12=17，17的平方根是±【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．24．请回答下列问题：（1）介于连续的两个整数和之间，且，那么          ，           ；（2）是的小数部分，是的整数部分，求          ，           ；（3）求的平方根．【答案】（1）4；b＝（2）−4；3（3）±8【分析】（（1）由16＜17＜25，可以估计的近似值，然后就可以得出a，b的值；（2）根据（1）的结论即可确定x与y的值；（3）把（2）的结论代入计算即可．【详解】解：（1）∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴a＝4，b＝5，故答案为：4；5；（2）∵4＜＜5，∴6＜＋2＜7，由此整数部分为6，小数部分为−4，∴x＝−4，∵4＜＜5，∴3＜－1＜4，∴y＝3；故答案为：−4；3（3）当x＝−4，y＝3时，＝＝64，∴64的平方根为±8．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．25．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．【答案】a+2b－c的平方根为.【详解】试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于的方程组，求出的值，再估算出的取值范围求出c的值，代入所求代数式进行计算即可．试题解析：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，∴ 解得 ∵9<13<16，∴ ∴的整数部分是3，即c=3，∴原式 6的平方根是 26．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000 m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420 m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1 m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场．【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.【详解】设篮球场的宽为x m，则长为x m，根据题意，得x·x=420，即x2=225，∵x为正数，∴x==15，∴篮球场的长为28米，∵ (28+2)2=900<1000，∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．27．（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，则______．（填“=”或“<”或“>”号）（2）如图，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．【答案】（1）＜；（2）不能，理由见解析【分析】（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案；（2）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于的方程，解得的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．【详解】解：（1）圆的面积与正方形的面积都是，圆的半径为，正方形的边长为，，，，，．（2）不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下：设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得：，解得或（不合题意，舍去），长为，宽为，正方形的面积为，正方形的边长为，，不能裁出长和宽之比为的长方形．【点睛】本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．28．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形，记此正方形的面积为S，边长为a．（1）_______，_______．（2）估计边长a的值在哪两个整数之间；（3）在图中的数轴上画出表示数a的点，并标记为点A．（保留画图痕迹）【答案】（1）17，；（2）4和5；（3）见解析【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长；（2）根据无理数的大小估算方法解答；（3）利用勾股定理作出边长表示的无理数即可．【详解】解：（1）由图可知：S==17，∴a=；（2）∵，∴，∴边长a的值在4和5之间；（3）如图所示：【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，以及无理数大小的比较，此种阴影部分的面积的求法是常用方法，需熟练掌握并灵活运用．29．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．30．先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【详解】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是两位数；（2）∵125，343，729，∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵，且59319的立方根是两位数，∴59319的立方根的十位数字是3，又∵59319的立方根的个位数字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是两位数；∵125，343，729，∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；∵，且103823的立方根是两位数，∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．