2023届高考数学一轮复习作业圆锥曲线中的定点定值问题新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业圆锥曲线中的定点定值问题新人教B版（答案有详细解析），共3页。试卷主要包含了已知A，B分别为椭圆E等内容，欢迎下载使用。
(1)求直线AB的斜率；
(2)设直线y＝2与抛物线交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，当直线AB经过抛物线的焦点F时，求k1＋k2的值．
[解](1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＝x2，则AB⊥x轴，此时，线段AB的中点在x轴上，所以，x1≠x2．
因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以，eq \f(y1＋y2,2)＝2，可得y1＋y2＝4．
由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))
两式作差可得4(x1－x2)＝yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(y1－y2)(y1＋y2)＝4(y1－y2)，
因此，直线AB的斜率为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1．
(2)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2,y2＝4x)) ，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2)) ，即点M(1,2)，
因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，可设直线AB的方程为x＝my＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,y2＝4x)) ，消去x可得y2－4my－4＝0，所以，y1y2＝－4．
k1＝eq \f(y1－2,x1－1)＝eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝eq \f(4,y1＋2)，同理可得k2＝eq \f(4,y2＋2)，
所以，k1＋k2＝eq \f(4,y1＋2)＋eq \f(4,y2＋2)＝eq \f(4y1＋y2＋4,y1＋2y2＋2)＝eq \f(4y1＋y2＋4,y1y2＋2y1＋y2＋4)＝eq \f(4×8,－4＋2×4＋4)＝4．
2．已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与圆C2相切．
(1)求p的值；
(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上(不与坐标原点O重合)，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程．
[解](1)由题意得，直线l1的斜率k1＝tan 45°＝1，抛物线C1的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，则直线l1的方程为y＝x＋eq \f(p,2)．
因为l1与C2相切，所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋eq \f(p,2)的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(p,2))),\r(1＋－12))＝eq \r(2)，解得p＝6．
(2)法一：依题意设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，即y＝eq \f(x2,12)，求导得y′＝eq \f(x,6)．
设A(x1，y1)(x1≠0)，则以A为切点的切线l2的斜率k2＝eq \f(x1,6)，
所以切线l2的方程为y＝eq \f(1,6)x1(x－x1)＋y1．
令x＝0，则y＝－eq \f(1,6)xeq \\al(2,1)＋y1＝－eq \f(1,6)×12y1＋y1＝－y1，即点B的坐标为(0，－y1)．
则eq \(MA,\s\up7(→))＝(x1－m，y1＋3)，eq \(MB,\s\up7(→))＝(－m，－y1＋3)，所以eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＝(x1－2m,6)，
连接ON，OM(图略)，则eq \(ON,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋eq \(MN,\s\up7(→))＝(x1－m,3)．
设点N的坐标为(x，y)，则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y．①
设直线l2的斜率为k2，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,12)x\\al(2,1)))(x1≠0)，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k2(x－x1)＋eq \f(1,12)xeq \\al(2,1)．②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝12y，,y＝k2x－x1＋\f(1,12)x\\al(2,1)，))消去y并整理得x2－12k2x＋12k2x1－xeq \\al(2,1)＝0．
由Δ＝(12k2)2－4(12k2x1－xeq \\al(2,1))＝0，求得k2＝eq \f(x1,6)．
所以切线l2的方程为y＝eq \f(1,6)x1(x－x1)＋eq \f(1,12)xeq \\al(2,1)．
令x＝0，得点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,12)x\\al(2,1)))，则eq \(MA,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－m，\f(1,12)x\\al(2,1)＋3))，eq \(MB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－m，－\f(1,12)x\\al(2,1)＋3))，
所以eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＝(x1－2m,6)，连接ON，OM(图略)，则eq \(ON,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋eq \(MN,\s\up7(→))＝(x1－m,3)．
设点N的坐标为(x，y)，则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
3．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq \(AG,\s\up7(→))·eq \(GB,\s\up7(→))＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
[解](1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．
则eq \(AG,\s\up7(→))＝(a,1)，eq \(GB,\s\up7(→))＝(a，－1)．由eq \(AG,\s\up7(→))·eq \(GB,\s\up7(→))＝8得a2－1＝8，即a＝3．
所以E的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，
由题意可知－3