2023届高考数学一轮复习作业利用导数研究不等式恒能成立问题北师大版（答案有详细解析）

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利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1．设f (x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3．(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．[解]　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M．由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x．令g′(x)＞0得x＜0或x＞，令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0，2]，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)min＝g＝－，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1．故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，则满足条件的最大整数M＝4．(2)对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f (x)min≥g(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1．在区间上，f (x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．设h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞．即m(x)＝xln x在上是增函数，可知h′(x)在区间上是减函数，又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；当＜x＜1时，h′(x)＞0．即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2021·烟台模拟)已知函数f (x)＝px2－(4p＋1)x＋2ln x，其中p∈R．(1)当p＞0时，试求函数f (x)的单调递增区间；(2)若不等式f (x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)·ex在x∈(1，＋∞)时恒成立，求实数q的取值范围．[解]　(1)f ′(x)＝2px－(4p＋1)＋＝(x＞0，p＞0)，当＜2即p＞时，由f ′(x)＞0解得x＞2或0＜x＜；当＝2即p＝时，f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立；当＞2即0＜p＜时，由f ′(x)＞0解得x＞或0＜x＜2．综上，当p＞时，f (x)的单调递增区间为，(2，＋∞)；当p＝时，f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当0＜p＜时，f (x)的单调递增区间为(0，2)，．(2)由f (x)≤px2－(4p＋1)x－2q(x－1)ex，化简得：ln x＋q(x－1)ex≤0在(1，＋∞)时恒成立，记g(x)＝ln x＋q(x－1)ex，当q≥0时，g(x)在x∈(1，＋∞)为增函数，g(1)＝0，所以g(x)＞0，不合题意；当q＜0时，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为减函数，g′(1) ＝1＋qe，若g′(1)＝1＋qe≤0，即q≤－时，g′(x)＜g′(1)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)为减函数，所以g(x)＜g(1)＝0，所以q≤－符合题意．若g′(1)＝1＋qe＞0，即q＞－时，g′(x)＝＋qxex在x∈(1，＋∞)为减函数，存在x0∈(1，＋∞)使得x∈(1，x0)，g′(x)＞0，即g(x)在x∈(1，x0)为增函数，所以g(x)＞g(1)＝0与g(x)≤0矛盾，所以q＞－，不合题意．综上，q∈．3．(2021·龙岩模拟)已知函数f (x)＝ln x(其中e为自然对数的底数)．(1)证明：f (x)≤f (e)；(2)对任意正实数x、y，不等式a(ln y－ln x)－2x≤0恒成立，求正实数a的最大值．[解]　(1)证明：f ′(x)＝－ln x＋＝－ln x＋－＝，令g(x)＝－xln x＋2e－x，g′(x)＝－ln x＋(－x)·－1＝－ln x－2，在(0，e－2)上，g′(x)＞0，g(x)单调递增，在(e－2，＋∞)上，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(e－2)＝－e－2ln e－2＋2e－e－2＝2e－2＋2e－e－2＝e－2＋2e＞0，又因为x→0时，g(x)→0；g(e)＝0，所以在(0，e)上，g(x)＞0，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，在(e，＋∞)上，g(x)＜0，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以f (x)max＝f (e)，即f (x)≤f (e)．(2)因为x，y，a，都大于0，由a(ln y－ln x)－2x≤0两边同除以ax整理得：≥ln ，令＝t(t＞0)，所以≥ln t恒成立，记h(t)＝ln t，则≥h(t)max，由(1)知h(t)max＝h(e)＝1，所以≥1，即0＜a≤2，amax＝2．所以正实数a的最大值是2．