2023届高考数学一轮复习作业导数的概念及运算北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业导数的概念及运算北师大版（答案有详细解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝1＋eq \f(1,x2)B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(3x)′＝3xlg3eD．(x2cs x)′＝－2sin x
B [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝x′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝1－eq \f(1,x2)；(3x)′＝3xln 3；(x2cs x)′＝(x2)′cs x＋x2(cs x)′＝2xcs x－x2sin x，故选项B正确．]
2．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )
A．1 B．－1 C．－e D．－e－1
D [由已知得f ′(x)＝2f ′(e)＋eq \f(1,x)，令x＝e，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋eq \f(1,e)，则f ′(e)＝－eq \f(1,e)．故选D．]
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝eq \f(1,3)t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是( )
A．1秒末B．1秒末和2秒末
C．4秒末D．2秒末和4秒末
D [∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，
即2秒末和4秒末的速度为零，故选D．]
4．若曲线f (x)＝acs x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [由题意得f ′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f ′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，∴b＝0．又f (0)＝g(0)，即a＝1，∴a＋b＝1．]
5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,2e) C．eq \f(1,e) D．eq \f(1,e2)
C [设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝eq \f(1,x)知切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq \f(x,x0)＋ln x0－1．由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,x0)，,ln x0－1＝0，))解得a＝eq \f(1,e)．故选C．]
6．(2021·合肥模拟)已知函数f (x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的斜率为( )
A．－2 B．2 C．－e D．e
B [函数f (x)＝xln x的导数为f ′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，可得切线的斜率k＝1＋ln m，
则1＋ln m＝eq \f(n＋e,m)＝eq \f(mln m＋e,m)，
解得m＝e，故k＝1＋ln e＝2．]
二、填空题
7．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x [设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝eq \f(1,x)＋1，则该切线的斜率k＝eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．]
8．设函数f (x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．
(1，－1)或(－1，1) [由题意知，f ′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线斜率为f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2ax0＝－1，,x0＋x\\al(3,0)＋ax\\al(2,0)＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,a＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,a＝－2，))
所以当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,a＝－2))时，点P的坐标为(1，－1)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,a＝2))时，点P的坐标为(－1，1)．]
9．(2021·成都模拟)曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为________．
eq \r(2) [由题意知，曲线y＝x2－ln x与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
y′＝2x－eq \f(1,x)，令2x－eq \f(1,x)＝1得x＝1，则切点坐标为(1，1)，所求距离为d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)．]
三、解答题
10．已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
[解] (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝eq \f(5,3)，
∴斜率最小时的切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0．
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))．
故α的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))．
11．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
[解] f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f (0)＝b＝0，,f ′(0)＝－a(a＋2)＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1．
(2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－eq \f(1,2)．
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))．
1．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a的值为( )
A．0 B．0或8 C．8 D．1
C [对y＝x＋ln x求导，得y′＝1＋eq \f(1,x)，y′|x＝1＝2，
即切线的斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1．因为该切线与抛物线相切，
所以ax2＋(a＋2)x＋1＝2x－1有唯一解．
即ax2＋ax＋2＝0有唯一解．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝a2－8a＝0，))解得a＝8，故选C．]
2．(2021·南昌模拟)已知曲线C：y＝xex，过点A(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞) [设切点为(m，mem)，y＝x·ex的导数为y′＝(x＋1)ex，则切线的斜率为(m＋1)em，切线方程为y－mem＝(m＋1)em(x－m)，切线过点A(a，0)，代入得－mem＝(m＋1)em(a－m)，即m2－ma－a＝0．
由题意知，方程m2－ma－a＝0有两个解．
则有Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4．]
3．已知函数f (x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)若曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)因为f ′(x)＝3x2＋1，
所以f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f ′(2)＝13．
所以所求的切线方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32．
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
所以直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16．
又因为直线l过点(0，0)，
所以0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16，
整理得xeq \\al(3,0)＝－8，所以x0＝－2，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
直线l的斜率k＝3×(－2)2＋1＝13．
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)因为切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4．
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，所以x0＝±1．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝－14))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－18，))
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14．