高考数学一轮复习课时分层作业15导数的概念及运算含答案

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1．D [y′＝x+1'x-1-x+1x-1'x-12＝－2x-12，
故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－23-12＝－12.]
2．A [因为V＝43πr3，所以r＝334πV，所以r′＝34π13×13V-23，
所以当V＝4π3时，r′＝34π13×134π3-23＝34π13×1334π23＝13×34π＝14πdm/L.故选A.]
3．A [∵f1(x)＝sin x＋cs x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 023＝4×505＋3，∴f2 023(x)＝f3(x)＝－sin x－cs x．故选A.]
4．A [对函数y＝sin x求导，得y′＝cs x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1．故选A.]
5．AC [f′(x)＝2x2－2x＋a.
因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，
所以f′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于0，
所以x1>0，x2>0，
所以x1+x2=--22=1＞0，x1·x2=a-32＞0. ②
联立①②，解得30相切于点b，3b+m，对于函数y＝x3x>0，y′＝3x2，则3a2＝3a>0，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.
对于函数y＝－x2＋nx－6x>0，y′＝－2x＋n，
则－2b＋n＝3b>0，又－b2＋nb－6＝3b－2，
所以－b2＋b3+2b－6＝3b－2，
又b>0，所以b＝2，n＝7．故选AD.]
7．10 [切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.]
8． 1e2 [由y＝ln x－1，得y′＝1x，设切点为(x0，ln x0－1)，
则ax0=lnx0-1，a=1x0， 解得a＝1e2.]
9． 2 [设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
则y′|x＝x_0 ) ＝2x-1x|x=x0＝2x0－1x0＝1.
∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝1-1-212+-12＝2.]
10．[解] ∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
y0＝12x02＋mx0＋72，m＜0，
∴m＝－2.
11．[解] (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知k≥-1，-1k≥-1，解得－1≤k