第27章+相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（内蒙古）

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第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（内蒙古）
一．选择题（共4小题）
1．（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
2．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2018•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2018•包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
5．（2022•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝　 　，OD＝　 　．
6．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．

7．（2019•通辽）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　 　．

8．（2019•呼和浩特）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为　 　．
9．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）

10．（2018•巴彦淖尔）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝12，P为上任意一点（不与点B，C重合），直线CP交AB的延长线于点Q，⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D，则下列结论：①若∠PAB＝30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB＝BD，则PD＝6；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ＝108．其中正确结论的序号为　 　．

11．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为　 　．

三．解答题（共3小题）
12．（2020•呼伦贝尔）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E，EG∥BC，连接AE交BC于点D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE＝3，DF＝2，求AF的长．

13．（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．

14．（2018•呼和浩特）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，AM＝MC，求的值．


第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（内蒙古）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【解答】解：如图所示，

由网格图可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，
∴AB＝＝2，
CD＝＝．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF＝，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD＝，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比＝＝＝2：1．
故选：D．
2．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝3，
故选：C．
3．（2018•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S▱ABCD＝AD•BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，
∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，
∴S△AEF＝2S△OEF，
∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误；
故选：B．

4．（2018•包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°，
∴BD＝2，
连接DE，
∵∠BDC＝90°，点E是BC中点，
∴DE＝BE＝CE＝BC＝2，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝∠DBC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2，
∴AB＝3，
∴，
∴，
∴DF＝BD＝×2＝，
故选：D．

二．填空题（共7小题）
5．（2022•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝　1　，OD＝　　．
【解答】解：如图：连接OC，

设OD＝x，
∵直径AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴AD＝AC＝1+x，
∵EC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝36°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝36°，
∵∠COD＝2∠CAD＝72°，
∴∠COD＝∠ADC＝72°，
∴OC＝DC＝1，
∴∠OCD＝∠CAD，∠ADC＝∠ODC，
∴△DOC∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的根，
∵x＞0，
∴OD＝，
故答案为：1，．

6．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．
7．（2019•通辽）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　3.75cm2　．

【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知＝，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．
再根据相似的性质可知＝，
解得：y＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），
所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．
故答案为：3.75cm2．

8．（2019•呼和浩特）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为　　．
【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝，
又∵CE＝，△EFC∽△EAB，
∴，
即：F是CD的中点，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
∴DH＝BC＝，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴，
在Rt△ABH中，BH＝，
∴BG＝，
故答案为：

9．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是　①②④　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∴，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
即．
∴BE＝，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝，
故②正确；
③∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3，
∴或不一定等于，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝，
∵∴，
故④正确；
故答案为：①②④．

10．（2018•巴彦淖尔）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝12，P为上任意一点（不与点B，C重合），直线CP交AB的延长线于点Q，⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D，则下列结论：①若∠PAB＝30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB＝BD，则PD＝6；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ＝108．其中正确结论的序号为　②③　．

【解答】解：如图，连接OP，
∵AO＝OP，∠PAB＝30°，
∴∠POB＝60°，
∵AB＝12，
∴OB＝6，
∴的长为 ＝2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴＝，
∴∠PAC＝∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB＝BD，则∠BPD＝∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO＝∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP＝∠BPO，
∴BP＝BO＝PO＝6，即△BOP是等边三角形，
∴PD＝OP＝6，故③正确；
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
又∵∠ABC＝∠APC，
∴∠APC＝∠BAC，
又∵∠ACP＝∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴＝，即CP•CQ＝CA2＝72，故④错误；
故答案为：②③．

11．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为　　．

【解答】解：∵3AE＝2EB，
∴可设AE＝2a、BE＝3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AEF＝1，
∴S△ABC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴S△ADF＝S△ADC＝×＝，
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
12．（2020•呼伦贝尔）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E，EG∥BC，连接AE交BC于点D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE＝3，DF＝2，求AF的长．

【解答】解：（1）连接OE．
∵直线EG与⊙O相切于E，
∴OE⊥EG，
∵EG∥BC，
∴OE⊥BC，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC；

（2）如图，∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2＝∠3，
∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF，
∴EB＝EF，
∵DE＝3，DF＝2，
∴BE＝EF＝DE+DF＝5，
∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴，即，
∴AE＝，
∴AF＝AE﹣EF＝．

13．（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．

【解答】证明：连接AC、BD，如图，
∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△APC∽△DPB，
∴PC：PB＝PA：PD，
∴PC•PD＝PA•PB，
∵PC2＝PB•PA，
∴PC＝PD，
∵AB为直径，
∴AB⊥CD．

14．（2018•呼和浩特）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，AM＝MC，求的值．

【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD．
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵OD＝OM，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP＝∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．

（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，
∵AM＝MC，
∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，
∴R2+122＝9R2，
∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6，
∵＝＝，
∴DP＝6，
∵O是MC的中点，
∴＝＝，
∴点P是BC的中点，
∴BP＝CP＝DP＝6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝6，
∵△BCM∽△CDM，
∴＝，即＝，
∴MD＝2，
∴＝＝．