24一元一次方程的解法（基础）知识讲解学案

一元一次方程的解法（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

 (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：

(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.

2.含字母的一元一次方程

  此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．

【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程

1．（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）

【答案与解析】

解：方程去括号得：5x=3x﹣12，

移项合并得：2x=﹣12，

解得：x=﹣6．

【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：

   (1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．

   (2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．

   (3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．

举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是(    )．

    A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3

    B．由x+3＝2-4x，得5x＝5

    C．由，得x＝-1

    D．由3＝x-2，得-x＝-2-3

【答案】D

类型二、去括号解一元一次方程

2．解方程：   

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．

【答案与解析】（1）去括号得：

              移项合并得：

                  解得：

（2）去括号得：

        移项合并得：

解得：

【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．

举一反三：

【变式】解方程： 5(x-5)+2x＝-4．

【答案】解： 去括号得：5x-25+2x＝-4．

               移项合并得：  7x＝21．

   解得： x＝3．

 类型三、解含分母的一元一次方程

3．（2016春•新乡期末）解方程﹣2=．

【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1的步骤，即可求出解．

【答案与解析】

解：去分母得：2（2x﹣1）﹣12=3（3x+2），

去括号得：4x﹣2﹣12=9x+6，

移项合并得：5x=﹣20，

解得：x=﹣4．

【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．

举一反三：

【变式】（2015•岳池县模拟）解方程：x+=﹣．

【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，

移项合并得：﹣9x=﹣14，

解得：x=．

类型四、解较复杂的一元一次方程

4．解方程：

【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．

【答案与解析】原方程可以化成：．

    去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．

    去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．

    系数化成1，得：．

【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．

 5. 解方程：

【答案与解析】

解法1：先去小括号得：

                      再去中括号得：

移项，合并得：

                            系数化为1，得：

解法2：两边均乘以2，去中括号得：

  去小括号，并移项合并得：，解得：

解法3：原方程可化为：

    去中括号，得

    移项、合并，得

    解得

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．

举一反三：

【变式】

【答案】

解：去中括号得：

去小括号，移项合并得：，解得x＝-8

类型五、解含绝对值的方程

6．解方程|x|-2＝0

【答案与解析】

解：原方程可化为：

当x≥0时，得x=2，

    当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．

所以原方程的解是x＝2或x＝-2．

【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．