第28章锐角三角形（选择、填空题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）

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第28章锐角三角形（选择、填空题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
一．选择题（共6小题）
1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　）

A． B． C． D．3
2．（2022•十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　）

A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα）
C．m（cosα﹣tanα） D．﹣
3．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（　　）

A． B．
C． D．
4．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）

A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
5．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
二．填空题（共13小题）
7．（2022•黄石）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 　 　m．
（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

8．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　 　．
9．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　 　小时．

10．（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 　 　m．
（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

11．（2022•武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　 　m．

12．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 　 　m（≈1.732，结果保留整数）．

13．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

14．（2021•湖北）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 　 　m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

15．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　 　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

16．（2020•湖北）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　 　海里．

17．（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为　 　m．（结果保留根号）

18．（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　 　km．

19．（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 　 　nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）


第28章锐角三角形（选择、填空题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　）

A． B． C． D．3
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．

2．（2022•十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　）

A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα）
C．m（cosα﹣tanα） D．﹣
【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，
则∠BCD＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，
则BD＝BC•sin∠BCD＝msinα，CD＝BC•cos∠BCD＝mcosα，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
则AD＝CD＝mcosα，
∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），
故选：A．

3．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ABD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝a+，
在Rt△ABC中，tanα＝，
解得x＝．
故选：D．
4．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）

A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），
∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．
故选：D．
5．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：法一、如图，

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
6．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
故选：C．

二．填空题（共13小题）
7．（2022•黄石）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 　12.7　m．
（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．

则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
在Rt△BDE中，tan60°＝，
解得BE＝x，
则AE＝AB+BE＝（20+x）m，
在Rt△ADE中，tan30°＝＝，
解得x＝≈17.3，
经检验，x＝≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
故答案为：12.7．
8．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　﹣1　．
【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　（1+）　小时．

【解答】解：如图：

由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，
在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），
PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），
在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），
∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，
∴t＝＝（1+）小时，
故答案为：（1+）．

10．（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 　16　m．
（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．

则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
设AE＝xm，则DE＝xm，
∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，
解得x＝10，
∴AB＝16m．
故答案为：16．
11．（2022•武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　800　m．

【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E．
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°．
在Rt△BCE中，
∵BC＝1600m，
∴CE＝BC＝800m，∠BCE＝60°．
∵∠BCD＝105°，
∴∠ECD＝45°．
在Rt△DCE中，
∵cos∠ECD＝，
∴CD＝
＝
＝800（m）．
故答案为：800．

12．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 　20　m（≈1.732，结果保留整数）．

【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，
根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30m，
∵AB∥CD，
∴∠ABH＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，
∵tan∠ABH＝，
∴BH＝＝＝15，
∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，
∴CH＝AH＝15m，
∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝≈20（m）．
答：这架无人机的飞行高度大约是20m．
故答案为20．

13．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．

14．（2021•湖北）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 　24.2　m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x+8＝x•tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.2（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
故答案为：24.2．
15．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12nmile，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．

16．（2020•湖北）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　20　海里．

【解答】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，

根据题意可知：
∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20海里，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝20×＝10（海里），
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝20（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离AD为20海里．
故答案为：20．
17．（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为　（﹣1.6）　m．（结果保留根号）

【解答】解：如图，
在Rt△DEA中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE＝5m，
DA＝＝5（m）；
在Rt△BCF中，∵cos∠BCF＝，
∴CB＝＝（m），
∴BF＝BC＝（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+﹣5＝﹣1.6（m）．
答：AB的长为（﹣1.6）m．
故答案为：（﹣1.6）．

18．（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　24　km．

【解答】解：过D点作DF⊥BC，
设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，
在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，
∵D地在AB正中位置，
∴AB＝2BD＝xkm，
∵tan∠ABC＝，
∴cos∠ABC＝，
∴＝，
解得x＝3，
则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，
小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．
故答案为：24．

19．（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 　20.8　nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）

【解答】解：过P作PD⊥AB于D．
∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠PAB＝∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝24nmile．
在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×＝12≈20.8（nmile）．
即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．
故答案为20.8．