第2章对称图形-圆解答题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）

这是一份第2章对称图形-圆解答题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏），共20页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。
第2章对称图形-圆解答题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

二．圆周角定理（共4小题）
2．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

3．（2020•宿迁）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

4．（2020•泰州）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

5．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

三．直线与圆的位置关系（共3小题）
6．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

7．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

8．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．

四．切线的性质（共1小题）
9．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝2，求的长．

五．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．

六．弧长的计算（共1小题）
11．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

七．扇形面积的计算（共1小题）
12．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．


第2章对称图形-圆解答题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM，，．
证明：连接OA、OB，

∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，．
二．圆周角定理（共4小题）
2．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

3．（2020•宿迁）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO2，
∴（OA+2）2＝16+OA2，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝8，
∵S△OAC＝×OA×AC＝×OC×AE，
∴AE＝＝，
∴OE＝＝＝，
∴BE＝BO+OE＝，
∴AB＝＝＝．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝6，
∵AB2+AD2＝BD2，
∴5AD2＝36，
∴AD＝，
∴AB＝2AD＝．
4．（2020•泰州）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

【解答】（1）证明：∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
（2）解：连接OA，OB，AB，AC，

∵的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝8，
∴AB＝8，
由（1）同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN＝AB＝4．
5．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；


（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
三．直线与圆的位置关系（共3小题）
6．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，

（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
7．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝6，
∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π．
故阴影部分的面积为6﹣2π．

8．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．

四．切线的性质（共1小题）
9．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝2，求的长．

【解答】解：（1）连接OC，如图，

∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；

（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝2，
∴OA＝1，
∵＝，
∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，
∴的长为：＝．

五．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．

【解答】证明：（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠EFA＝90°，
∴∠DCA＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠DFC，
∴∠DCA＝∠DFC，
∴△DCF是等腰三角形．

六．弧长的计算（共1小题）
11．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，

当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，

∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
七．扇形面积的计算（共1小题）
12．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；


（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．