2021-2022学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含答案)

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，四象限D．不能确定等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，满分30分，每题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣2与3 B．﹣（+3）与+（﹣3）
C．4与﹣4 D．5与
2．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≥且x≠0 C．x＞ D．x≥
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
4．（3分）分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
5．（3分）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
6．（3分）若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（　　）
A．增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小2
7．（3分）某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
8．（3分）若点M（x，y）满足（x﹣y）2＝x2+y2﹣2，则点M所在象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．不能确定
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：
①当x1＞x2+2时，S1＞S2；
②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；
③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；
④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．
其中正确结论的序号是（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
二、填空题（共8小题，满分24分，每题3分）
11．（3分）某旅游风景区，2022年元旦期间旅游收入约1300000000元，将1300000000用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1，x2，则x1•x2＝　 　．
13．（3分）命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
14．（3分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 　 　（只要写出一个符合题意的答案即可）．
15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠COB＝70°，那么∠BAD＝　 　°．

16．（3分）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 　 　．
17．（3分）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，AB＝6，CD＝3，且B，C，D三点在同一条直线上，点C为的圆心，则图中阴影部分的面积之和为 　 　．

18．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+4ax﹣9的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上的一动点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 　 　．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）3（x2+2）﹣3（x+1）（x﹣1）．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）4x2﹣8x+1＝0．
21．（10分）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．

22．（10分）已知不等式组．
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为非负数的概率．
23．（10分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的学生人数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
24．（10分）定义：平面内，如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相等，则称这一点为该四边形的外心．
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形中，一定有外心的是　 　；
（2）已知四边形ABCD有外心O，且A，B，C三点的位置如图1所示，请用尺规确定该四边形的外心，并画出一个满足条件的四边形ABCD；
（3）如图2，已知四边形ABCD有外心O，且BC＝8，sin∠BDC＝，求OC的长．

25．（10分）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝6，∠APC＝60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）连接OP，求tan∠OPA的值．

26．（10分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
27．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，+为定值，请直接写出该定值．

28．（10分）如图，射线AM上有一点B，AB＝6．点C是射线AM上异于B的一点，过C作CD⊥AM，且CD＝AC，过D点作DE⊥AD，交射线AM于E．在射线CD取点F，使得CF＝CB，连接AF并延长，交射线ED于点G．设AC＝3a．
（1）当C在B点右侧时，求AD、DF的长；（用关于a的代数式表示），
（2）求当a为何值时，△AFD是等腰三角形；
（3）设GE的长度为l，请求出l关于a函数表达式，并写出自变量a的取值范围．


2021-2022学年江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣2与3 B．﹣（+3）与+（﹣3）
C．4与﹣4 D．5与
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A错误；
B、都是﹣3，故B错误；
C、只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、互为倒数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≥且x≠0 C．x＞ D．x≥
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣且x≠0，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵（a2）3＝a6，
∴选项A不符合题意；

∵a4•a2＝a6，
∴选项B不符合题意；

∵a6÷a3＝a3，
∴选项C不符合题意；

∵（ab）3＝a3b3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4．（3分）分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
5．（3分）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．
【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（　　）
A．增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小2
【分析】由“当x的值减小1，y的值就减小2”，即可求出k值，再利用一次函数的性质可求出当x的值增加2时y的变化．
【解答】解：依题意，得：，
解得：k＝2，
∴2（x+2）﹣2x＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出k值是解题的关键．
7．（3分）某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【分析】设打x折，根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．
【解答】解：设打x折销售，根据题意可得：
1500×≥1000（1+5%），
解得：x≥7，
故要保持利润率不低于5%，则至少可打7折．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．
8．（3分）若点M（x，y）满足（x﹣y）2＝x2+y2﹣2，则点M所在象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．不能确定
【分析】利用完全平方公式展开得到xy＝1，再根据同号得正判断出x、y同号，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴﹣2xy＝﹣2，
∴xy＝1，
∴x、y同号，
∴点M（x，y）在第一象限或第三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设DC＝3x，CB＝2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC＝8，设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案．
【解答】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，
∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，
∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD＝3x，
∴AB＝AD+DB＝8x＝16，
∴x＝2，
∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，
∴BC＝＝8，
设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E，
∵CE2+B'C2＝B'E2，
∴a2+32＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴CE＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：
①当x1＞x2+2时，S1＞S2；
②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；
③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；
④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．
其中正确结论的序号是（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可．
【解答】解：不妨假设a＞0．
①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，

∵P1P2∥AB，
∴S1＝S2，故①错误．
②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，
则S1＞S2，故②错误．
③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S1＞S2，故③正确．
④如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．

故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共8小题，满分24分，每题3分）
11．（3分）某旅游风景区，2022年元旦期间旅游收入约1300000000元，将1300000000用科学记数法表示为 　1.3×109　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1300000000＝1.3×109．
故答案为：1.3×109．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1，x2，则x1•x2＝　2　．
【分析】直接利用根与系数的关系求得答案即可．
【解答】解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1x2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
13．（3分）命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是　假　命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．
【解答】解：命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，
是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．（3分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 　y＝x2（答案不唯一）　（只要写出一个符合题意的答案即可）．
【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
【解答】解：y＝x2中开口向上，对称轴为x＝0，
当x＞0时y随着x的增大而增大，
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．
15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠COB＝70°，那么∠BAD＝　35　°．

【分析】由AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠A＝∠BOC＝×70°＝35°．
故答案为：35．
【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
16．（3分）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 　k＞﹣2且k≠﹣1　．
【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．
【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝﹣k，
∴x＝k+2，
∵关于x的方程的解为正数，
∴k+2＞0，且x＝k+2≠1，
∴k＞﹣2且k≠﹣1．
故答案为：k＞﹣2且k≠﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解为正数的条件，要注意分式方程的解不能让分母等于0．
17．（3分）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，AB＝6，CD＝3，且B，C，D三点在同一条直线上，点C为的圆心，则图中阴影部分的面积之和为 　6π　．

【分析】由正三角形的性质得到AC＝BC、EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝∠ACE＝60°，进而得到∠BCE＝∠ACD，得证△BCE≌△ACD，然后得到∠EBC＝∠DAC，得证△BCG≌△ACF，即可得到CG＝CF，连接FG，结合∠GCF＝60°得到△GCF为等边三角形，从而得到∠FGC＝∠ACB＝60°，进而得到FG∥BC，从而得到△BCF和△BCG的面积相等，即有阴影部分的面积即为扇形CAB的面积，最后由AB＝6和扇形的面积公式求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC和△ECD为正三角形，
∴AC＝BC＝AB＝6，EC＝DC＝ED＝3，∠ACB＝∠ECD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠EBC＝∠DAC，
又∵BC＝AC，∠BCG＝∠ACF＝60°，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴CG＝CF，
连接FG，
∵∠GCF＝60°，
∴△GCF为等边三角形，
∴∠FGC＝∠ACB＝60°，
∴FG∥BC，
∴S△BCF＝S△BCG，
∴S阴影＝S扇形CAB＝＝6π，
故答案为：6π．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是通过证明△BCE≌△ACD、△BCG≌△ACF得到FG∥BC．
18．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+4ax﹣9的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上的一动点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 　（2，）或（2，﹣）　．
【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，设点P的坐标为：（2，m），分两种情况讨论，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
设点P的坐标为：（2，m），
当∠P1AB＝90°，
∵二次函数y＝﹣ax2+4ax﹣9的图象经过点A（3，0），
∴B（0，﹣9），
∴OA＝3，OB＝9，
∴tan∠BAO＝tan∠APM＝＝3，
∴＝3，
∴P1M＝，
∴P1（2，），
当∠P2BA＝90°时，过B点作BD垂直于对称轴与D，
∴tan∠P2BD＝＝tan∠ABO＝＝，
∴P2D＝，
∴P2（2，﹣），
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，﹣）．
故答案为：（2，）或（2，﹣）．

【点评】本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）3（x2+2）﹣3（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及合并同类项运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+×1
＝2﹣1+
＝1+；

（2）原式＝3x2+6﹣3（x2﹣1）
＝3x2+6﹣3x2+3
＝9．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）4x2﹣8x+1＝0．
【分析】（1）方程两边都乘（x﹣3）（2﹣x）得出3（2﹣x）＝2（x﹣3）（2﹣x）﹣2（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘（x﹣3）（2﹣x），得3（2﹣x）＝2（x﹣3）（2﹣x）﹣2（x﹣3），
整理得：2x2﹣11x+12＝0，
（2x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝，x2＝4，
经检验x1＝，x2＝4都是原方程的解，
即原方程的解是x1＝，x2＝4；

（2）4x2﹣8x+1＝0，
4x2﹣8x＝﹣1，
配方，得4x2﹣8x+4＝﹣1+4，
（2x﹣2）2＝3，
开方得：2x﹣2＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
21．（10分）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．

【分析】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22．（10分）已知不等式组．
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为非负数的概率．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集，进而得出答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1），
由①得x＞﹣2，
由②得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
它的所有整数解为﹣1，0，1，2．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中积为非负数的有8种，
∴积为非负数的概率为．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解、列表法与树状图法，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
23．（10分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的学生人数是　100　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
【分析】（1）用选“阅读”的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先计算出选“舞蹈”的人数，再计算出选“打球”的人数，然后补全条形统计图；
（3）用2000乘以样本中选“打球”的人数所占的百分比可估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
【解答】解：（1）本次抽样调查中的学生人数是：30÷30%＝100（人），
即本次抽样调查中的学生人数是100人，
故答案为：100；
（2）选”舞蹈”的人数为100×10%＝10（人），
选“打球”的人数为100﹣30﹣10﹣20＝40（人），
补全条形统计图为：
40，10补全图形并标注数字；
（3）1000×＝400（人），
所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为400人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本、总体、个体之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，掌握基本概念．
24．（10分）定义：平面内，如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相等，则称这一点为该四边形的外心．
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形中，一定有外心的是　矩形　；
（2）已知四边形ABCD有外心O，且A，B，C三点的位置如图1所示，请用尺规确定该四边形的外心，并画出一个满足条件的四边形ABCD；
（3）如图2，已知四边形ABCD有外心O，且BC＝8，sin∠BDC＝，求OC的长．

【分析】（1）根据平行四边形、矩形和菱形在对角线上的性质求解可得；
（2）连接BC、AB，作两线段的中垂线，交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆，在上取一点D，顺次连接即可得；
（3）作出四边形的外接圆，连接BO，作OE⊥BC于点E，依据圆周角定理和圆心角定理得出∠COE＝∠BDC，由垂径定理得CE＝BC＝4，据此利用正弦函数的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵矩形对角线相等且互相平分，
∴矩形对角线交点到四顶点的距离相等，即对角线交点是矩形的外心，
故答案为：矩形；

（2）如图1，点O即为四边形的外心，满足条件的四边形ABCD如图所示．


（3）如图2，作四边形ABCD的外接圆，连接BO，作OE⊥BC于点E，

则∠BOC＝2∠COE，
∵∠BOC＝2∠BDC，
∴∠COE＝∠BDC，
∵BC＝8，OE⊥BC，
∴CE＝BC＝4，
∵sin∠BDC＝，
∴sin∠BDC＝sin∠COE＝＝，
则OC＝5．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形的性质，四边形外接圆的性质，圆周角定理和圆心角定理及垂径定理等知识点．
25．（10分）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝6，∠APC＝60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）连接OP，求tan∠OPA的值．

【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，根据切线的性质得出∠OCP＝90°，根据等边三角形的判定得出△OCA是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠OCA＝∠CAO＝60°，求出∠PCA＝30°，OM＝3 ，求出PA，再求出答案即可；
（2）过O作ON⊥AB于N，求出ON和PN，根据勾股定理求出OP，再求出答案即可．
【解答】解：（1）过O作OM⊥AC于M，

∵PC是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCP＝90°，
∵AC＝OA＝OC，
∴△OCA是等边三角形，
∴∠OCA＝∠CAO＝60°，
∴∠PCA＝90°﹣60°＝30°，OM＝OC×sin60°＝6×＝3，
∵∠APC＝60°，
∴∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠PCA＝90°，
∵AC＝OA＝6，
∴PA＝AC×tan30°＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△PAC+S△OAC﹣S扇形AOC
＝×＝15；
（2）过O作ON⊥AB于N，

∵OC＝OA＝6，∠PAC＝90°，∠CAO＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴ON＝OA＝3，
∴AN＝OA•cos30°＝，
∴PN＝PA+AN＝2，
由勾股定理得：OP＝，
∴sin∠OPA＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，求扇形的面积，切线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
26．（10分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意易得出每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式y＝﹣50x+800
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，则得S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800），利用对称轴的位置即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，可得y＝﹣50x+800
（2）∵﹣50x+800≥250
∴x≤11
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800
∵﹣50＜0，
∴当x≤12时，w随x的增大而增大，
∴当x＝11时，w最大值＝750
答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元．
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，
∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a
∵当x≤13时，S随x的增大而增大，
∴≥13
∴a≥2
∴2≤a≤2.5
即a的取值范围为2≤a≤2.5
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
27．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，+为定值，请直接写出该定值．

【分析】（1）设OA＝t（t＞0），则OB＝OC＝3t，可得该抛物线的对称轴为直线x＝t，有b＝﹣2t，将A（﹣t，0），C （0，﹣3t）代入即可求出该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）取BC中点G，作GH⊥BC于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，由抛物线顶点D坐标为（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3），可得∠BCD＝90°，GH∥CD，从而H为BD中点，CH＝BH＝BD＝，由面积法得CM＝＝，故tan∠CHM＝，即知tan∠PBA＝，即＝，设P（m，m2﹣2m﹣3），得＝，即可得m的值为﹣；
（3）过M作MG∥x轴交AC于G，过F作FT∥x轴交AM于T，过C作CQ∥x轴交AM于Q，由MG∥FT∥CQ∥OA，得△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，有＝，＝，故+＝+＝1，即得+＝，根据AM平分∠BAC，可得AC＝CQ，从而+＝，同理可得+＝，又A（﹣1，0），C（0，﹣3），即得+＝＝+＝．
【解答】解：（1）设OA＝t（t＞0），
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝OC＝3t，
∴A（﹣t，0），B（3t，0），C （0，﹣3t），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝t，
∴b＝﹣2t①，
将A（﹣t，0），C （0，﹣3t），代入得：
，
①②③联立解得：，（t＝0已舍去），
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）取BC中点G，作GH⊥BC于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，如图：

由y＝x2﹣2x﹣3得抛物线顶点D坐标为（1，﹣4），
而B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，CD＝，BD＝2，
∴BC2+CD2＝20，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵GH⊥BC，
∴GH∥CD，
∵G为BC中点，
∴H为BD中点，
∴CH＝BH＝BD＝，
∴∠CHM＝2∠CBD＝∠PBA，
∵CM＝＝，
∴MH＝＝，
∴tan∠CHM＝，
∴tan∠PBA＝，即＝，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则＝
解得m1＝3（与B重合，舍去）或m2＝﹣，
∴m的值为﹣；
（3）过M作MG∥x轴交AC于G，过F作FT∥x轴交AM于T，过C作CQ∥x轴交AM于Q，如图：

∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，
∴MG∥FT∥CQ∥OA，
∴△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM＝∠AQC，
∴AC＝CQ，
∴+＝，
同理可得+＝，
由（1）可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC＝，
∴+＝＝+＝+＝．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
28．（10分）如图，射线AM上有一点B，AB＝6．点C是射线AM上异于B的一点，过C作CD⊥AM，且CD＝AC，过D点作DE⊥AD，交射线AM于E．在射线CD取点F，使得CF＝CB，连接AF并延长，交射线ED于点G．设AC＝3a．
（1）当C在B点右侧时，求AD、DF的长；（用关于a的代数式表示），
（2）求当a为何值时，△AFD是等腰三角形；
（3）设GE的长度为l，请求出l关于a函数表达式，并写出自变量a的取值范围．

【分析】（1）由已知条件可得：CD＝4a，根据勾股定理得：AD＝5a，由AB＝6且C在B点右侧，可以依次表示BC、CF、DF的长；
（2）分两种情况：①当C在B点的右侧时，AF＝DF，②当C在线段AB上时，又分两种情况：i）当CF＜CD时，如图3，ii）当CF＞CD时，如图4，由AF＝DF，作等腰三角形的高线FN，由等腰三角形三线合一得：AN＝ND＝2.5a，利用同角的三角函数列比例式可求得a的值；
（3）分三种情况：①当C在B点的右侧时，即AC＞AB时，②当C在线段AB上时，且CF＜CD时，③当C在线段AB上时，且CF＞CD时，解直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）∵CD＝AC，AC＝3a，
∴CD＝4a，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD＝90°，
由勾股定理得：AD＝5a，
∵AB＝6，C在B点右侧，
∴BC＝AC﹣AB＝3a﹣6，
∵BC＝FC＝3a﹣6，
∴DF＝CD﹣FC＝4a﹣（3a﹣6）＝a+6；
（2）①当C在B点的右侧时，

∴AC＞AB，
∴F必在线段CD上，
∵∠ACD＝90°，
∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF＝DF，过F作FN⊥AD于N，如图2，
∴AN＝ND＝2.5a，
∵cos∠ADC＝，
∴，
∴a＝；
②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF＝DF，
i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图3，

∵AB＝6，AC＝3a，
∴BC＝CF＝6﹣3a，
∴DF＝4a﹣（6﹣3a）＝7a﹣6，
cos∠ADC＝，
∴，
∴a＝，
ii）当CF＞CD时，如图4，

∵BC＝CF＝6﹣3a，
∴FD＝AD＝6﹣3a﹣4a＝6﹣7a，
则6﹣7a＝5a，
∴x＝，
综上所述，当a＝或或时，△AFD是等腰三角形；
（3）分三种情况：①当C在B点的右侧时，即AC＞AB时，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∴tan∠DEC＝tan∠ADC＝，tan∠EGH＝tan∠ADC＝，
∴，，
∴DE＝，CE＝，HE＝l，
∴AH＝AE﹣HE＝3a+，HG＝＝l，
∵tan∠FAC＝tan∠GAH＝，
∴，
∴25a2﹣，
∴，
∴l＝（a＞2）；

②如图所示，当C在线段AB上时，且CF＜CD时，即＜a≤2时，

同理可得AH＝，HG＝＝l，
∵tan∠FAC＝tan∠GAH＝，
∴，
∴50a﹣25a2﹣+，
∴，
∴l＝（＜a≤2）；
③当C在线段AB上时，且CF＞CD时，即0＜a≤时，

同理可得AH＝﹣，HG＝＝l，
∵tan∠FAC＝tan∠GAH＝，
∴，
∴50a﹣25a2﹣+，
∴，
∴l＝（0＜a≤），
综上，l＝．
【点评】此题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能够利用数形结合思想求解．
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