4.2.2三角恒等变换（针对练习）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第四章 三角函数与解三角形4.2.2三角恒等变换（针对练习）针对练习针对练习一 和与差公式的应用1．已知角的终边过点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由任意三角形的定义求出，由两角差的正弦公式代入即可求出.【详解】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，.故选：D.2．已知，则(       )A． B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系和正切的和角公式即可计算﹒【详解】∵，∴，，∴，故选：A．3．已知，，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用平方关系求得、，再应用差角余弦公式求目标式的值.【详解】由，得：，由，得：，所以.故选：C4．已知，则（       ）A． B． C． D．或【答案】A【解析】【分析】由平方关系求得、，再由两角和的余弦展开式求得答案.【详解】依题意，均为锐角，由得，由得，所以，而，所以.故选：A.5．已知，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由同角的基本关系式和两角差的余弦公式，计算可得出答案.【详解】.故选：C. 针对练习二 和与差公式的逆用6．的值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据式子的特点，逆用两角和的正弦公式，即可计算出．【详解】解：.故选：A7．等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】观察题中的式子的结构，结合余弦的差角公式的逆用，结合特殊角的三角函数值，求得结果.【详解】根据题意可得: ，故选:B.8．（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式五可得，逆用两角差的正弦公式计算即可得出结果.【详解】由诱导公式五，得，所以.故选：A.9．等于（       ）A． B． C．1 D．1【答案】D【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式的变形公式化简计算即可【详解】，故选：D10．（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】逆用两角和的正弦公式，再由特殊角的三角函数值求解.【详解】.故选：A 针对练习三 巧变角11．若，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题干中的条件可得，，再由化简求值即可.【详解】，，，，，，，.故选：B.12．已知，，，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先由平方关系求出，，再由结合余弦差角公式即可求解.【详解】由，可得，故，，故.故选：A.13．已知，为锐角，，，则的值为(       )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】，根据正弦的差角公式展开计算即可.【详解】∵，，∴，又∵，∴，又，∴，∴，，∴ 故选：A.14．已知a，β都是锐角，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后由利用两角和与差的余弦公式可得答案.【详解】因为a是锐角，所以，所以，因为，所以，所以，因为β是锐角，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以 .故选：B.15．已知，都是锐角，且， ，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式求，由此可求.【详解】因为，都是锐角，所以，，又，，所以，，所以，，所以所以，所以，所以，故选：B. 针对练习四 倍角公式的应用16．已知角的终边过点，则（       ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角余弦公式计算可得；【详解】解：∵角的终边过点，所以，∴，故．故选：B17．已知，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用同角关系计算即可.【详解】 ， ；故选：D.18．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得出，利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简可得结果.【详解】由已知可得，则原式．故选：A.19．已知，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，，或，由平方可得，即，由平方可得，即，因为，所以，，综上，.故选：C20．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知可得，再根据二倍角的正弦公式及平方关系结合商数关系化弦为切，从而可得出答案.【详解】解：由，得，所以.故选：D. 针对练习五 降幂升角公式的应用21．的值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用降幂公式求解【详解】.故选：D.22．已知，则是（       ）A．奇函数且周期为π B．偶函数且周期为πC．奇函数且周期为 D．偶函数且周期为【答案】A【解析】【分析】利用降幂公式进行化简，再通过三角函数相关性质判断奇偶性及周期即可.【详解】，故为奇函数，且最小正周期为故选：A23．已知，则（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式得，再结合已知求解即可.【详解】解：∵，∴．故选：B．24．已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.【详解】解：由已知可得，，，，.故选：A.25．函数值域为（     ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，结合三角函数值域的求法求得正确答案.【详解】， .故选：D 针对练习六 辅助角公式的应用26．函数的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式化简即可求解.【详解】，故最大值为2故选：B27．函数在区间上的最小值为（       ）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【解析】【分析】化简可得，再结合正弦函数的图象分析求解即可【详解】，故当时，，故当时， 取最小值故选：D28．已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可.【详解】函数，由函数f(x)在上单调递减，且，得，，解，.又因为ω>0，，所以k＝0，所以实数ω的取值范围是.故选：B29．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】，因为，所以，因为，所以.正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，所以，所以的取值范围是.故选：D30．已知函数向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式化简变形函数，再利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，然后根据其为奇函数可求出的值，从而可求出其最小值【详解】，则其向右平移个单位长度后，得，因为此函数为奇函数，所以，，得，，因为，所以的最小值为，故选：D 针对练习七 化简求值31．化简的结果为A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由构造出正切二倍角公式,再根据同角三角函数商的关系式化简即可.【详解】解：故选:A【点睛】本题考察正切二倍角公式, 同角三角函数商的关系式的应用,需要注意观察题中所给角度的关系.32．化简A． B． C．1 D．【答案】D【解析】【分析】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案．【详解】化简分母得.故原式等于.故选D．【点睛】本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式．属于基础题．33．化简（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用正弦的二倍角公式，由，再结合，化简即可得解.【详解】解：因为，由，所以，所以原式.故选：C.34．化简A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】试题分析：．故B正确．考点：二倍角公式,诱导公式．35．化简的结果为（   ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】利用二倍角的公式及同角三角函数化简，即得.【详解】＝tan2α．故选：B． 针对练习八 三角恒等变换与三角函数的综合应用36．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求函数的对称中心；(3)求函数在区间上的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）先利用三角函数恒等变换得到，从而利用求出最小正周期；（2）在第一问的基础上令，求解函数的对称中心；（3）利用函数图象求解函数的值域.(1),所以的最小正周期为；(2)令，则，所以函数的对称中心是(3)时，，则37．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，当时，求函数的最大值及对应的值．【答案】(1)(2)当时，取最大值为【解析】【分析】（1）由，化简得，结合正切的倍角公式，即可求解； (2)根据题意得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.(1)由题意，向量，因为，可得，整理得，显然，故，所以.(2)因为，可得，因为，所以，当，即时，函数取最大值为．38．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的单调递增区间．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.(1)，∴函数的最小正周期．(2)由（1）知：．当．又因为在上单调递增，在上单调递减，令，得，∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．39．设函数，其中，，．(1)求函数f（x）的最小值及相应的x的值；(2)若函数的最大值为，求实数a的值．【答案】(1)，时函数f（x）有最小值(2)或．【解析】【分析】（1）由向量的数量积的坐标求法结合三角恒等变形化简可得出的解析式为，再由正弦函数的图像性质可得出答案.（2）先得出的解析式，然后设令   则，即，再根据二次函数在闭区间上的最值问题进行讨论可得出答案.(1)当且仅当，时，即，时，函数f（x）有最小值．(2)令   则，对称轴方程为① 当时，即a<0时② 当时，即时，（舍）③ 当时，即a>2时，，（其中舍）∴，综上或．40．已知平面向量，，，其中．(1)求函数的单调增区间；(2)将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到的图象，若在上恰有2个解，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数变换规则得到的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；(1)解：因为，且，所以，，即，令，，解得，，又因为，所以函数的单调增区间为：．(2)解：因为，所以将函数的图象所有的点向右平移个单位得到，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）再向下平移个单位得到，又因为，所以，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，且，作出图像可得：所以的取值范围．