2021-2022学年湖北省武汉市武昌区南湖中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区南湖中学八年级（上）月考数学试卷（9月份），共27页。试卷主要包含了选择题，解下列各题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区南湖中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题
1．（3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，6，7 C．2，2，6 D．5，6，7
2．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
3．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）在△ABC和△A'B′C'中，下面不一定能使△ABC≌△A'B'C'的条件是（　　）
A．AB＝A'B′，∠A＝∠A'，AC＝A'C'
B．AB＝A'B'，BC＝B′C'，AC＝A'C'
C．AC＝A'C'，∠B＝∠B′，BC＝B'C'
D．∠B＝∠B'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'
6．（3分）用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
7．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．70°
9．（3分）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（　　）

A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC，D为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，AB与CD交于E，DF为∠BDA的平分线．当∠ACD＝15°时，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二.填空题
11．（3分）如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理是利用三角形的　 　．

12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝5，则CF的长为　 　．

13．（3分）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝　 　．
14．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是　 　．（填一种即可）

15．（3分）如图，已知AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　 　．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点F，若AC＝4FC，则DB：BC的值为　 　．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．

18．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，垂足分别为A，D，AB＝DC．求证：AC＝BD．

19．（8分）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
20．（8分）如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．

21．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，求证：∠BFE＝∠BEF．

22．（10分）已知，在△ABC中，D是AC上一点，BF交AC于点E，连接DF．
（1）如图1，BE＝EF，AB∥DF．求证：AE＝DE；
（2）如图2，点D与点C重合，∠A＝90°，∠ACB＝∠ECF，∠F＝∠AEB．若CE＝3，BC＝5，求AC的长．

23．（12分）请参照下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点．
若∠A＝30°，则∠BOC＝　 　；
若∠A＝α，则∠BOC＝　 　．（用含α的代数式表示）
（2）如图2在四边形ABDC中，点O是∠ABD和∠ACD外角平分线的交点，写出∠A、∠D与∠O之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABDC中，∠ABD和∠ACD外角的n等分线交于O，使∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO．直接写出∠A、∠D和∠O之间的数量关系．


24．（10分）在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣4，0），C（0，2），直接写出点B的坐标 　 　；
（2）如图2，三角形△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣4，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n+m的值．



2021-2022学年湖北省武汉市武昌区南湖中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，6，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、3+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；
C、2+2＜6，不能构成三角形，故此选项合题意；
D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
5．（3分）在△ABC和△A'B′C'中，下面不一定能使△ABC≌△A'B'C'的条件是（　　）
A．AB＝A'B′，∠A＝∠A'，AC＝A'C'
B．AB＝A'B'，BC＝B′C'，AC＝A'C'
C．AC＝A'C'，∠B＝∠B′，BC＝B'C'
D．∠B＝∠B'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：
A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项不符合题意；
B．AB＝A′B′，BC＝B′′C′，AC＝A′C′，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项不符合题意；
C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项符合题意；
D．∠B＝∠B′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6．（3分）用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【分析】根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺
【解答】解：根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺，
故选：B．
【点评】本题考查平面密铺的问题，用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
7．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据正多边形的性质，由六边形ABCDEF是正六边形ABCDEF，得∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF，那么∠ABF＝∠AFB，故∠ABF+∠AFB＝180°﹣∠A＝60°，推断出∠ABF＝∠AFB＝30°，进而解决此题．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF．
∴∠ABF＝∠AFB．
∴∠ABF+∠AFB＝180°﹣∠A＝60°．
∴∠ABF＝∠AFB＝30°．
同理，∠EFD＝30°．
∴∠BFD＝∠AFE﹣（∠AFB+∠EFD）＝120°﹣（30°+30°）＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查正多边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．70°
【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°，
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（　　）

A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝β，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC＝∠B+∠ACB，于是得到结果．
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝β，
∴∠B＝∠EFC＝β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝γ，
∴∠BCD＝γ﹣β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝α，
∴α＝β+2（γ﹣β），
即β＝2γ﹣α，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC，D为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，AB与CD交于E，DF为∠BDA的平分线．当∠ACD＝15°时，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，
∵∠BCD＝30°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意；
∵点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，

∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF（SAS），
∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，
∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∠HBF＝15°，
∴∠HBF＝∠BFH＝15°，
∴BH＝HF，
∴BH＝AF，
∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，
∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，
∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，
∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，
∴△BDG≌△BDE（SAS），
∴∠BGD＝∠BED＝75°，
∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，
∴∠GBC＝∠BGC＝75°，
∴BC＝CG，
∴BC＝CG＝2DE+EC，
∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，
故选：C．
【点评】本题是考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二.填空题
11．（3分）如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理是利用三角形的　稳定性　．

【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性，关键是根据三角形的稳定性解答．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝5，则CF的长为　2　．

【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC，计算即可得到结果．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
13．（3分）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝　11　．
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝8，解得n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
14．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是　AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD　．（填一种即可）

【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
【解答】解：添加AC＝AD，利用SAS可得△ABC≌△ABD；
添加∠C＝∠D，利用AAS可得△ABC≌△ABD；
添加∠ABC＝∠ABD，利用ASA可得△ABC≌△ABD；
故答案为：AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD．
【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
15．（3分）如图，已知AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　132°　．
【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣BCE，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝42°，
∴∠EAC+∠EBC＝42°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣42°＝48°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣48°＝132°．
故答案为：132°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是熟记全等三角形的判定与性质并充分利用角的和差的转化关系进行求解．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点F，若AC＝4FC，则DB：BC的值为　　．

【分析】作EM⊥AF于M，通过证明△ADC≌△EAM，得到AC＝EM，再根据已知条件证明△BCF≌△EMF，从而得到BF＝FE，根据△ADC≌△EAM，△BCF≌△EMF，设FC＝FM＝x，找出DB和BC与x的关系，即可得到答案．
【解答】解：作EM⊥AF于M，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠M＝∠ACB，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAM+∠AEM＝90°，∠EAM+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠AEM，
在△ADC和△EAM中，
，
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴AC＝EM，AM＝CD，
∵AC＝BC，
∴BC＝EM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠M，
在△BCF和△EMF中，
，
∴△BCF≌△EMF（AAS），
∴CF＝MF，
∵AM＝DC，
设FC＝FM＝x，AC＝BC＝4x，AM＝DC＝6x，
∴BD＝2x，
∴＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，观察图形，作出辅助线并证明两对对应的三角形全等是解题的关键．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．

【分析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，垂足分别为A，D，AB＝DC．求证：AC＝BD．

【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB，即可证明结论．
【解答】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB是解题的关键．
19．（8分）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
【分析】（1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
（2）先判断能否围成有一边长为9cm的等腰三角形，然后利用分类讨论的方法可以求得三角形另外两边的长．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
由题意可得，x+2x+2x＝35，
解得x＝7，
∴2x＝14，
即各边的长为7cm、14cm、14cm；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形，
当腰长为9cm时，则底边长为35﹣9×2＝17（cm），
∵9+9＞17，
∴能围成有腰长为9cm的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为9cm、17cm；
当底边长为9cm时，则腰长为（35﹣9）÷2＝13（cm），
∵13+9＞13，
∴能围成有底边长为9cm的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为13cm、13cm；
由上可得，三角形的另外两边长为9cm、17cm或13cm、13cm．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
20．（8分）如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．

【分析】由“SAS”可证△AFC≌△AGB，可得∠AFC＝∠AGB，由“AAS”可证△ADF≌△AEG，可得AD＝AE．
【解答】证明：在△AFC和△AGB中，
，
∴△AFC≌△AGB（SAS），
∴∠AFC＝∠AGB，
∴∠AFD＝∠AGE，
在△ADF和△AEG中，
，
∴△ADF≌△AEG（AAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，求证：∠BFE＝∠BEF．

【分析】（1）连接CE，由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，即可得出CD＝CE；
（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，即可证出∠BFE＝∠BEF．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）证明：由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
∵∠BFE＝∠CDE+∠ACD，∠BEF＝∠CED+∠BEC，
∴∠BFE＝∠BED．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）已知，在△ABC中，D是AC上一点，BF交AC于点E，连接DF．
（1）如图1，BE＝EF，AB∥DF．求证：AE＝DE；
（2）如图2，点D与点C重合，∠A＝90°，∠ACB＝∠ECF，∠F＝∠AEB．若CE＝3，BC＝5，求AC的长．

【分析】（1）由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定证得△ABE≌△DFE，根据全等三角形的性质可证得结论；
（2）过B作BH∥DF交CA的延长线于点H，由平行线的性质得到∠HBE＝∠F＝∠AEB，∠H＝∠ACF＝ACB，由等腰三角形的判定得到BH＝EH＝BC＝5，进而得到CH＝8，根据等腰三角形的性质即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AE＝DE；

（2）解：过B作BH∥DF交CA的延长线于点H，
∴∠HBE＝∠F＝∠AEB，∠H＝∠ACF＝ACB，
∴BH＝EH＝BC＝5，
∵CE＝3，
∴CH＝HE+CE＝8，
又∠BAD＝90°，
∴CA＝HA＝CH＝4．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
23．（12分）请参照下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点．
若∠A＝30°，则∠BOC＝　105°　；
若∠A＝α，则∠BOC＝　90°+α　．（用含α的代数式表示）
（2）如图2在四边形ABDC中，点O是∠ABD和∠ACD外角平分线的交点，写出∠A、∠D与∠O之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABDC中，∠ABD和∠ACD外角的n等分线交于O，使∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO．直接写出∠A、∠D和∠O之间的数量关系．


【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
（2）结论：∠BDC+∠A﹣2∠O＝180°．如图2中，延长CD交AB于T．设∠ABD＝2α，∠ACD＝2β，利用三角形的外角的性质以及“8字型”基本图形的性质求解即可；
（3）结论；∠D+2∠O﹣∠A＝180°．设∠ABO＝∠OBD＝x，∠ACO＝∠ECO＝y，利用四边形内角和定理以及：“8字型“基本图形的性质，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
当∠A＝30°时，∠OBC+∠OCB＝75°，
∴∠BOC＝105°，
当∠A＝α时，∠BOC＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α．
故答案为：105°，90°+α．

（2）结论：∠BDC+∠A﹣2∠O＝180°．
理由：如图2中，延长CD交AB于T．设∠ABD＝2α，∠ACD＝2β，

∵∠CDB＝∠DBT+∠BTD，∠BTD＝∠A+∠ACD，
∴∠BDC＝2α+2β+∠A，
∴∠A+∠ABO＝∠O+∠ACO，
∴α+∠A＝∠O+（180°﹣2β），
∴2α+2β＝2∠O﹣2∠A+180°，
∴∠BDC＝2∠O﹣2∠A+180°+∠A，
∴∠BDC＝2∠O﹣∠A+180°，
∴∠BDC+∠A﹣2∠O＝180°．

（3）结论：∠D+n∠O+（1﹣n）∠A＝180°．
理由：如图3中，

∵∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO．
设∠ABO＝x，∠ACO＝y，则∠ABD＝nx，∠ACE＝ny，
则有x+∠A＝y+∠O，∠A+nx+∠D+（180°﹣ny）＝360°，
∴x﹣y＝∠O﹣∠A，
∴∠A+n（∠O﹣∠A）+∠D+180°＝360°，
∴∠D+n∠O+（1﹣n）∠A＝180°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，角平分线的定义，基本图形“8字型”的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣4，0），C（0，2），直接写出点B的坐标 　（2，﹣2）　；
（2）如图2，三角形△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣4，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n+m的值．


【分析】（1）如图1中，过点B作BT⊥y轴于点T．证明△AOC≌△CTB，可得结论；
（2）如图2中，过点A作AH⊥OB于H，过点D作DJ⊥OB于点J．利用全等三角形的性质证明OJ＝DJ，可得结论；
（3）利用勾股定理，分别求出m，n的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，过点B作BT⊥y轴于点T．

∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵∠AOC＝∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴∠ACO+∠BCT＝90°，∠BCT+∠CBT＝90°，
∴∠ACO＝∠CBT，
在△AOC和△CTB中，
，
∴△AOC≌△CTB（AAS），
∴AO＝CT＝4，BT＝CO＝2，
∴OT＝CT﹣CO＝2，
∴B（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）；

（2）如图2中，过点A作AH⊥OB于H，过点D作DJ⊥OB于点J．

∵AO＝AB，AH⊥OB，∠OAB＝90°，
∴OH＝HB，∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴AH＝OB＝OH＝HB，
同法可证△AHC≌△CJD（AAS），
∴CH＝DJ，CJ＝AH，
∴CJ＝OH，
∴OJ＝CH＝DJ，
∵∠DJO＝90°，
∴∠DOJ＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠DOJ＝90°；

（3）如图3中，过点B作BK⊥y轴于点K，在AO上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．

∵AO平分∠CAB，
∴∠CAO＝∠CAB＝22.5°，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴∠CEO＝∠EAC+∠ECA＝45°，
∴CO＝OE，
设OE＝OC＝x，则AE＝EC＝x，
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴x+x＝4，
∴x＝4（﹣1），
∵∠ACD＝90°，∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴∠ECD＝∠EDC＝67.5°，
∴EC＝ED＝x＝8﹣4，
∴OD＝ED﹣OE＝8﹣4﹣4（﹣1）＝12﹣8，
∴m＝12﹣8，
同法可证△AOC≌△CKB（AAS），
∴CK＝OA＝4，BK＝CO＝4（﹣1），
∴OK＝CK﹣OC＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
∴n＝4﹣8，
∴2n+m＝8﹣16+12﹣8＝﹣4．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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